Lok Agnesi
Z Wikipedii
Krzywa zwana lokiem Agnesi była badana przez Guido Grandiego, który, opisując ją, używał włoskiego wyrazu versorio, co znaczy „mający możliwość ruchu w dowolnym kierunku”. Funkcjonuje też druga nazwa czarownica Agnesi. To malownicze określenie jest najwyraźniej wynikiem błędnego tłumaczenia – w połowie XVIII wieku Maria Agnesi błędnie myślała, że Grandi używał włoskiego słowa versiera, oznaczającego „żona diabła” lub „czarownica”.
Aby skonstruować krzywą:
- Wykreśl okrąg ośrodku w punkcie (0,a) i o promieniu a > 0.
- Z początku układu współrzędnych poprowadź prostą przecinającą w punkcie P ten okrąg.
- Znajdź punkt przecięcia Q tej prostej z prostą o równaniu y = 2a.
- Znajdź punkt przecięcia prostej pionowej przechodzącej przez Q i prostej poziomej przechodzącej przez P.
- Otrzymany punkt M leży na krzywej zwanej czarownicą.
Niech t oznacza kąt pomiędzy osią pionową i prostą przechodzącą przez punkty (0,0), P i Q; gdzie a > 0 to promień okręgu.
Krzywą możemy opisać równaniem
- dla
lub parametrycznie
- .
Wykres ma asymptotę o równaniu
- y = 0,
maksimum w punkcie :
- (0,a),
promień krzywizny w tym punkcie wynosi
- .
Pole powierzchni ograniczonej wykresem i asymptotą krzywej jest równe
- .
Lok Agnesi jest szczególnym przypadkiem krzywej Lorentza lub inaczej Breita-Wignera, opisywanej równaniem
- dla a > 0.