Sorcière d'Agnesi

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En mathématiques, la Sorcière d'Agnesi ou courbe d'Agnesi (d'après Maria Gaetana Agnesi) est une courbe définie comme suit :

Sur un cercle fixe, on choisit un point O. Le point M est diamétralement opposé à O.
À partir de tout autre point A du cercle, on trace la sécante OA.
L'intersection de la droite OA et de la tangente au cercle en M se fait au point N.
La droite parallèle à OM passant par N, et la droite perpendiculaire à OM passant par A, se rencontrent en P.
La courbe est le lieu des points P pour tous les points A du cercle.

La courbe est asymptotique à la tangente au cercle fixe passant par le point O.

[modifier] Équations

On suppose O à l'origine, et M sur l'axe des ordonnées positives. On suppose que le rayon du cercle est a.

L'équation cartésienne de la courbe est alors : $y = \frac{8a^3}{x^2+4a^2}$ .

On note que si a=1/2, l'équation se réduit à la forme : $y = \frac{1}{x^2+1}.$

Paramétriquement, si $θ$ est l'angle (OM,OA), mesuré dans le sens anti-trigonométrique, alors la courbe est définie par les équations :

$x = 2a \tan \theta, y = 2a \cos ^2 \theta.\,$

[modifier] Propriétés

La surface comprise entre la Sorcière et son asymptote est quatre fois celle du cercle fixe, soit $4π a 2$ .

Le volume délimité par la surface de révolution de la Sorcière autour de son asymptote est de $4π 2 a 3$ .

Le centroïde de la courbe se trouve aux coordonnées $(0,\frac{a}{2})$ .

[modifier] Histoire

Cette courbe est étudiée par Pierre de Fermat, Guido Grandi en 1703 et Maria Gaetana Agnesi en 1748.

En italien, cette courbe est nommée la versiera di Agnesi (« la courbe d'Agnesi »). Elle acquiert son nom courant suite à une erreur de traduction de John Colson, professeur à Cambridge qui confond le nom d'orgine avec l'avversiera di Agnesi (« la Sorcière d'Agnesi »).