Kwadrat magiczny (matematyka)
Z Wikipedii
Kwadrat magiczny to tablica liczb składająca się z n wierszy i n kolumn (n>2), w którą wpisano n2 różnych liczb naturalnych w ten sposób, że suma liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i w każdej przekątnej jest taka sama (tzw. suma magiczna). Kwadrat, w którym suma liczb w każdym wierszu i każdej kolumnie jest taka sama, ale sumy liczb w przekątnych są różne, nazywa się półmagicznym.
Z matematycznego punktu widzenia to macierz kwadratowa, w której suma liczb w kolumnach, wierszach i obu przekątnych jest taka sama.
Kwadraty magiczne nie mają żadnego zastosowania naukowego, ich układanie jest rodzajem rozrywki matematycznej. Kwadratów magicznych jest nieskończenie wiele.
Najpopularniejsze są kwadraty zbudowane z kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego: 1, 2, ... n2. Suma magiczna takiego kwadratu wynosi n·(n2+1)/2.
Niektóre własności kwadratów magicznych (n, jak wyżej, oznacza liczbę kolumn i wierszy kwadratu):
- Jeśli do każdej liczby w kwadracie dodamy tę samą wartość k, to kwadrat pozostanie magicznym, a jego suma magiczna wzrośnie o n·k.
- Jeśli każdą liczbę w kwadracie pomnożymy przez tę samą wartość k, to kwadrat pozostanie magicznym, a jego suma wzrośnie k-krotnie.
- Jeśli weźmiemy dwa kwadraty magiczne o tym samym rozmiarze i sumach magicznych S1 i S2, i dodamy liczby na odpowiadających sobie pozycjach, to otrzymany w wyniku tego dodawania nowy kwadrat też będzie magiczny, a jego suma magiczna wyniesie S1+S2 (jednak nie ma gwarancji, że w tym nowym kwadracie wszystkie liczby będą różne).
Sumę magiczną kwadratu można szybko wyznaczyć, bez potrzeby sumowania liczb w kolumnach, wierszach bądź przekątnych, za pomocą wzoru:
gdzie: Z - pierwsza liczba kwadratu magicznego (w lewym górnym rogu), Y - ostatnia liczba kwadratu (w prawym dolnym rogu), X - liczba wierszy i kolumn kwadratu. Oczywiście wzór ten możemy użyć nie tylko do liczb znajdujących się na tych rogach. Wystarczy ze najpierw znajdziemy środek macierzy (może on być liczbą lub + w przypadku boku parzystego). Następnie wybieramy sobie jedną liczbę z macierzy a nasz środek posłuży nam za środek symetrii tzn. naszą drugą liczbą będzie liczba oddalona o taką samą odległość od środka jak pierwsza, lecz po przeciwnej stronie.
Kwadraty magiczne znali już starożytni Chińczycy i Hindusi, wierzyli w ich magiczną moc i dlatego umieszczali je na amuletach i talizmanach. Chiński filozof i budowniczy Lo Shu stworzył ok. 2800 roku p.n.e. tzw. kwadrat idealny, tworząc na jego podstawie podwaliny sztuki Feng Shui. Chińscy architekci doradzali stosować magiczny kwadrat podczas projektowania domów, pałaców i miast. Najbardziej znaną budowlą, gdzie podczas projektowania ściśle zastosowano zasadę idealnego kwadratu jest Cesarski Pałac w Pekinie. Najsłynniejszym kwadratem magicznym jest jednak ten, który umieścił Albrecht Dürer na swoim słynnym miedziorycie Melancholia I. Zapewne nieprzypadkowo w dwu wewnętrznych kratkach ostatniego wiersza tego kwadratu stoją obok siebie liczby 15 i 14, składające się na datę powstania grafiki – rok 1514.
Istnieją również językowe odmiany kwadratów magicznych. W takich kwadratach litery wpisane w pola kwadratu tworzą słowa w kolumnach i wierszach (nie zawsze muszą tworzyć one po przekątnych).
Przykłady kwadratów magicznych:
n = 3, S = 15 | n = 4, S = 74 | n = 5, S = 65 | n = 9, S = 369 |
|
[edytuj] Zobacz też