Dwójkowy system liczbowy

Z Wikipedii

Dwójkowy system liczbowy (inaczej binarny) to pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc tylko dwa znaki: 0 i 1. Powszechnie używany w informatyce. Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu.

Np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:

1x2³ + 0x2² + 1x2¹ + 0x2⁰ = 8+2 = 10.

Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę pozycji danego systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać obok niej indeks. Np. 10101₂ = 21₁₀

W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby rzeczywiste. Dla przykładu ułamki dziesiętne dają się zapisać jako:

0,15₁₀ = 0,00(1001)₂

0,28₁₀ = 0,(01000111101011100001)₂

ułamek zwykły:

(nawiasem oznaczono okres)

Liczby niewymierne mają rozwinięcie nieokresowe:

Spis treści 1 Obliczanie wartości dziesiętnej liczby zapisanej w systemie dwójkowym 2 Obliczanie wartości binarnej liczby zapisanej w systemie dziesiętnym 3 Działania na liczbach w systemie dwójkowym 4 Zobacz też 5 Linki zewnętrzne

[edytuj] Obliczanie wartości dziesiętnej liczby zapisanej w systemie dwójkowym

	43210
111102 =	11110	= 1x24 + 1x23 + 1x22 + 1x21 + 0x20 = 1 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 = 16 + 8 + 4 + 2 = 30

Jedynka podobnie jak w systemie dziesiętnym ma różne wartości w zależności od swojej pozycji - na końcu oznacza 1, na drugiej pozycji od końca 2, na trzeciej 4, na czwartej 8, itd. Ponieważ 0 x 2ⁿ=0, oraz 1 x 2ⁿ = 2ⁿ, aby obliczyć wartość liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.

[edytuj] Obliczanie wartości binarnej liczby zapisanej w systemie dziesiętnym

Zamiana 30₁₀ na liczbę w systemie dwójkowym:

30 ÷ 2 = 15 reszty 0
15 ÷ 2 = 7 reszty 1
7 ÷ 2 = 3 reszty 1
3 ÷ 2 = 1 reszty 1
1 ÷ 2 = 0 reszty 1

Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca reszty, które nam wyszły. Tak więc 30₁₀ = 11110₂.

127 ÷ 2 = 63 reszty 1            19 ÷ 2 = 9 reszty 1
63  ÷ 2 = 31 reszty 1            9 ÷ 2 = 4 reszty 1
31  ÷ 2 = 15 reszty 1            4 ÷ 2 = 2 reszty 0
15  ÷ 2 = 7 reszty 1             2 ÷ 2 = 1 reszty 0
7  ÷ 2 = 3 reszty 1               1 ÷ 2 = 0 reszty 1
3   ÷ 2 = 1 reszty 1
1   ÷ 2 = 0 reszty 1
127₁₀ = 1111111₂                       19₁₀ = 10011₂

[edytuj] Działania na liczbach w systemie dwójkowym

Dodawanie w systemie dwójkowym jest bardzo prostą operacją.

                  111111
                  1111111
              +     10011
                 10010010

Operacja jest podobna do dodawania w systemie dziesiętnym, ale potrzebuje mniej informacji o sumach cyfr. Dość zapamiętać sobie, że jeśli w słupku musimy dodać dwie jedynki, to jest to sytuacja analogiczna do tej, jaka występuje w systemie dziesiętnym gdy musimy dodać dwie piątki. A więc 1 i 1 to 0 i 1 „w pamięci”. Wszystkie pozostałe operacje, jakie można spotykać przy takim dodawaniu, zawierają dodawanie zera i dlatego są bardzo proste.

Odejmowanie też jest bardzo proste, na przykład:

                  1111111
              -     10011
                  1101100

A w takiej sytuacji pożyczamy jedynkę:

     11101
-    10110
     00111

(zera z lewa, oczywiście, można wykreślić).

Mnożenie i dzielenie wykonuje się w systemie dwójkowym również podobnie do wykonania tych operacji w systemie dziesiętnym. Potrzebna dla tych działań tabelka mnożenia jest jeszcze prostszą za tabelkę dodawania, ponieważ mnoży się tylko 0 i 1: mnożenie na 0 da 0, mnożenie na 1 nie zmienia liczby.

[edytuj] Zobacz też

• kod uzupełnień do dwóch
• ósemkowy system liczbowy
• szesnastkowy system liczbowy
• dziesiętny system liczbowy
• matematyka
• system liczbowy

[edytuj] Linki zewnętrzne

• Wszystko o systemie binarnym (pl)
• Automatyczny przelicznik systemu dziesiętnego ↔ system binarny (en)