Algebra centralna prosta
Z Wikipedii
Spis treści |
Algebra centralna prosta (algebra Brauera, z ang. również CSA) nad ciałem K – w teorii pierścieni i powiązanych gałęziach matematyki skończeniewymiarowa prosta algebra łączna, której centrum jest K. Innymi słowy, każda algebra prosta jest algebrą centralną prostą nad swoim centrum. Nazwa alternatywna pochodzi od nazwiska Richarda Brauera.
[edytuj] Przykłady
- Liczby zespolone tworzą algebrę centralną prostą nad sobą, ale nie nad liczbami rzeczywistymi (centrum są wszystkie elementy , a nie tylko ).
- Kwaterniony są czterowymiarową algebrą centralną prostą nad .
[edytuj] Pojęcia
Zgodnie z twierdzeniem Artina–Wedderburna algebra prosta A jest izomorfczna z algebrą macierzy M(n,S) dla pewnego pierścienia z dzieleniem S. Dane dwie algebry proste oraz nad tym samym ciałem K nazywa się podobnymi (równoważnymi w sensie Brauera), jeżeli ich pierścienie z dzieleniem S oraz T są izomorficzne. Zbiór wszystkich klas równoważności algebr centralnych prostych nad ciałem K, ze względu na wspomnianą relację równoważności, może być wyposażony w działanie grupowe dane przez iloczyn tensorowy algebr. Otrzymana grupa nazywana jest grupą Brauera nad ciałem K.
[edytuj] Własności
- Każdy automorfizm algebry centralnej prostej jest automorfizmem wewnętrznym (wynika z twierdzenia Skolema-Noether).
- Jeżeli S jest prostą podalgebrą algebry centralnej prostej A, to dimFS dzieli dimFA.
- Każda czterowymiarowa algebra centralna prosta nad ciałem K jest izomorficzna z algebrą kwaternionów; faktycznie, jest to albo algebra macierzy wymiaru albo algebra z dzieleniem.
[edytuj] Zobacz też
- przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
- grupa Brauera,
- rozmaitość Severiego-Brauera.