Stokastisk prosess

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

En stokastisk prosess er et matematisk objekt som anvendes for å beskrive tilfeldige (stokastiske) forandringer.

En reell stokastisk prosess $X$ er en samling $X = \{X_t\}_{t \in T}$ av stokastiske variabler $X_t : \Omega \longrightarrow \mathbb{R},$ som er definert i samme sannsynlighetsrom $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ . Hvis indeksmengden $T$ er diskret, sier man at $X$ er en stokastisk prosess i diskret tid, og dersom indeksmengden er kontinuerlig sier man at $X$ er en stokastisk prosess i kontinuerlig tid.

Sannsynlighetsfordelingen for en stokastisk variabel er et sannsynlighetsmål $μ t$ på Borel sigma-algebraen på mengden av de reelle tallene $\mathbb{R}$ :

$\mu_t(A) = P(X_t \in A), \qquad A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}).$

De endelig-dimensjonale fordelingene for en stokastisk prosess er mengden $\{\mu_{(t_1,\dots,t_n)}\}_{t_1,\dots,t_n \in T, n\geq1}$ av alla tenkbare flerdimensjonale sannsynlighetsfordelinger som assosieres med den stokastiske prosessen:

$\mu_{(t_1,\dots,t_n)}(A_1,\dots,A_n) = P(\{X_{t_1} \in A_1\} \cap \cdots \cap \{X_{t_n} \in A_n\}),$

der index $t_1,\dots,t_n \in T$ og mengdene $A_1,\dots,A_n \in \mathcal{B}(\mathbb{R}),$ for hvert valg av heltallet $n\geq 1.$

Assosiert med en stokastisk prosess er dens forventningsverdifunksjon

$m : T \longrightarrow \mathbb{R}$

og dens kovariansfunksjon

$c : T \times T \longrightarrow \mathbb{R}.$

Disse defineres av følgende integraler med hensyn på sannsynlighetsmålet $P$ .

$m(t) = E[X_t] = \int_{\Omega} X_t(\omega)\, dP(\omega)$

$c (s, t) = E [X s X t] - E [X s] E [X t]$ ,

der forventningsverdien $E [X s X t]$ beregnes i produktrommet $(\Omega\times\Omega,\mathcal{F}\times\mathcal{F},P\times P):$

$E[X_s X_t] = \int_{\Omega\times\Omega} X_s(\omega) X_t(\eta) \, d(P\times P)(\omega,\eta).$

Hvis det viser seg at de endelig-dimensjonale fordelingene for den stokastiske prosessen X er absolutt kontinuerlige med hensyn på Lebesgue-målet, så kan den forventningsverdien over skrives som

$E[X_t] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_{X_t}(x)\,dx$

$E[X_s X_t] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty x y f_{(X_s,X_t)}(x,y) \, dx \, dy,$

der funksjonen $f_{X_t} : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ er den Radon-Nikodym-deriverte av sannsynlighetsfordelingen for den stokastiske variabelen $X t$ med hensyn på Lebesgue-målet på $\mathbb{R}$

$f_{X_t} = \frac{d \mu_t}{dx}.$

Denne deriverte kalles innenfor sannsynlighetsteori og statistikk for den stokastiske variabelens tetthetsfunksjon. På motsatt vis er funksjonen $f_{X_s,X_t} : \mathbb{R}\times\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ Radon-Nikodym-derivatet