Impedans

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Innhold

1 Allment
2 Reaktanser for komponenter
3 Reaktanser med lignende verdier
4 Analogier
5 Fase
6 Beskrivelse med kompleks matematikk
- 6.1 Beregning for parallellkopling av reaktans og resistans

[rediger] Allment

Med impedans mener vi forholdet mellom spenning over og strøm gjennom en topol ved en gitt frekvens. Begrepet impedans er en utvidelse av begrepet resistans, og vi trenger det når vi utvider betraktningen til å inkludere reaktanser i tillegg til resistanser, det vil si når vi går fra likestrømsbetraktninger over til vekselstrømsbetraktninger.

En impedans er satt sammen av to komponenter som vi kaller reaktans og resistans.
Reaktans står for enten kapasitans eller induktans, som uttrykk for virkningen av en kapasitet (kondensator) eller induktivitet (spole).

For hver frekvens finnes én reaktansverdi og én resistansverdi og summen deres utgjør impedansen ved denne frekvensen.
Dette gjelder for alle tenkelige nettverk uten begrensning av antall resistanser og reaktanser.
Reaktansens fortegn bestemmer typen; en negativ reaktans er kapasitiv og en positiv reaktans er induktiv.

Resistansen og reaktansen kan tenkes som to forskjellige komponenter koplet i serie.
Vi betegner reaktans med X, resistans med R og impedans med Z.
Måleenheten for alle er Ohm eller $Ω$ .

De inverse størrelsene kalles

suseptans, B som den inverse av reaktans X. Måles i Siemens [S] eller Mho.
admittans, Y som den inverse av impedans Z. Måles i Siemens [S] eller Mho.

En positiv suseptans er kapasitiv og en negativ suseptans er induktiv

Impedansen, seriekoplingen av resistansen og reaktansen blir:

$\Z = R+jX$

hvor

Z er impedansen
X er reaktansen
R er resistansen

alle målt i Ohm, eller $Ω$

j er den imaginære enheten fra kompleks matematikk

Admittansen, parallellkoplingen av konduktansen G =1/R og suseptansen B blir:

$\ Y = G+jB$

hvor

Y er admittansen
B er suseptansen
G er konduktansen

alle målt i Siemens [S], eller Mho

Vi kan selvfølgelig parallellkople reaktans og resistans eller seriekople suseptans og konduktans, men da er vitsen med dualiteten med inverse verdier borte; det er tungvint.

Siden resistanser og reaktanser (som også konduktanser og suseptanser) er ortogonale til hverandre i tid (derfor "j", se senere i artikkelen), kan vi ikke bare addere Ohmverdiende deres. Heri ligger vanskeligheten med en lett fordøyelig beskrivelse av begrepet impedans.

Resistansen og konduktansen står for energitapet i topolen.
De reaktive komponentene opptar, lagrer og avgir elektrisk energi til hverandre og mot kilden gjennom perioden, men avgir aldri energi i form av varme.

[rediger] Reaktanser for komponenter

For gitte, faste verdier av komponentene induktivitet (=spole) eller kapasitet (=kondensator) blir den tilhørende reaktansen frekvensavhengig.
Sammenhengene er som følger, hvor X er størrelsen av reaktansen.

$X_C = {1\over {2\cdot \pi \cdot f\cdot C}} = {1\over {\omega \cdot C}}$ for kondensator

$X_L = {2\cdot \pi \cdot f\cdot L} = {\omega \cdot L}$ for spole

hvor

C er kapasiteten i [Farad]
L er induktiviteten i [Henry]
f er frekvensen i [Hz] eller [perioder/sek]
$ω$ er vinkelfrekvensen i [radianer/sek]
rad er radian, (360 grader/ $\ 2\pi$ )

Vi ser at verdien av reaktansen for en induktivitet stiger proposjonalt med frekvensen, mens den for en kapasitet er omvendt proposjonal med frekvensen.

Komponenter er ikke perfekte; kondensatorer og (særlig) spoler er beheftet med energitap. Vi føyer en motstand til komponenten ved beregninger for å beskrive dette.

[rediger] Reaktanser med lignende verdier

Det er ved frekvenser som frembringer de samme absoluttverdier for reaktans og resistans (som ved lav- og høypassfiltre), eller induktans og kapasitans (som ved resonans), at grense- eller resonansfrekvenser finnes.
I det videre gjelder altså $\ |X_C| = |X_L| = R$ , samt lave og høye frekvenser i forhold til frekvensene som oppfyller likheten.

R og C i serie

Lav f: Z går mot Xc går mot uendelig

Grense: $\ |Z| = \sqrt 2 \cdot R = \sqrt 2 \cdot |X_C|$

Høy f: Z går mot R

R og C i parallell

Lav f: Z går mot R

Grense: $\ |Z| = {R \over {\sqrt 2}} = {|X_C| \over {\sqrt 2}}$

Høy f: Z går mot Xc går mot null

R og L i serie

Lav f: Z går mot R

Grense: $\ |Z| = \sqrt 2 \cdot R = \sqrt 2 \cdot |X_C|$

Høy f: Z går mot XL går mot uendelig

R og L i parallell

Lav f: Z går mot XL går mot null

Grense: $\ |Z| = {R \over {\sqrt 2}} = {|X_C| \over {\sqrt 2}}$

Høy f: Z går mot R

C og L i serie

Lav f: C dominerer, |Z| høy

Z går mot XL+Xc går mot null siden Xc er negativ (serieresonans)

Høy f: L dominerer, |Z| høy

C og L i parallell

Lav f: L dominerer, |Z| lav

Z går mot XL*Xc/(XL+Xc) som går mot uendelig (Xc er negativ, parallellresonans)

Høy f: C dominerer, |Z| lav

Ved resonans er reaktansene like, altså er

$\ {1\over \omega C} = {\omega L}$ og fra dette finner vi

$\ \omega ^2 = {1\over {LC}}$ og

${2\pi f} ={\omega} = {1\over{\sqrt {LC}}}$ og

$\ f = {1\over {2\pi \sqrt {LC}}}$

[rediger] Analogier

Det er ofte lettere å få begrep om kompliserte forhold hvis vi bruker analogier til mer dagligdagse ting som vi alt har en brukbar forestilling om. Her vil vi assosiere den elektriske spenningen med kraft og strømmen med hastighet. Analogien her er god fordi matematisk behandling av begge systemene frembringer de samme løsningene på differensialligningene. NB! Energibetraktninger er ikke gyldige i denne anlogien!

Kapasitans kan vi assosiere med en spiralfjær. Vi lader kondensatoren = vi trekker ut fjæra (positiv spenning) eller stuver den sammen (negativ spenning). En høy kapasitet tilsvarer en slapp fjær. Når vi lar fjæra gå tilbake får vi energien tilbake.

Induktans kan vi se på som en masse målt i kg. Vi tilfører den energi ved å flytte den høyere opp i rommet. En høy induktivitet tilsvarer en stor masse. Det er ikke energiforbruk ved dette; når vi senker massen får vi energien tilbake.

Resistans tilsvarer friksjon. Det er bare ved friksjon vi kan tilføre omgivelsene varme.

Resonans mellom induktans og kapasitans tilsvarer det å henge massen i fjæra (som på den andre siden er fast til en referanse) og så gi massen en dult. Det er ved svingningene som oppstår at kraft og hastighet skifter periodisk på. Frekvensen øker for mindre masser og stivere fjærer, altså mindre induktiviteter og mindre kapasiteter.

[rediger] Fase

Når vi kopler en motstand (resistans) til en spenningskilde vil strømmen i motstanden være størst når spenningen er størst. Tilsvarende blir spenningen størst når strømmen fra en strømkilde er størst.
Slik forholder det seg ikke for reaktanser.
Kapasitansen koplet til en spenningskilde fører størst strøm når spenningen stiger hurtigst. Uttrykt matematisk: Strømmen er proposjonal til den deriverte av spenningen.
Induktiviteten koplet til en strømkilde oppviser størst spenning når strømmen økes hurtigst. Tilsvarende er spenningen proposjonal til den deriverte av strømmen.
Med formler:

${dU\over dt} = {I\over C}$ for kapasitet

${dI\over dt} = {U\over L}$ for induktivitet

Vi mener alltid sinusformete signaler når vi henviser til en frekvens. Sinusformede signaler kommer ut av løsningene av differensialligningene for reaktive komponenter. Det kommer av den egenskapen ved sinussignaler at de deriverte signalene har samme formen. Dette igjen betyr at signalene ikke endrer form uansett hvor kompliserte nettverk vi betrakter; signalene er alltid sinusformede.

Med blanding av reaktans og resistans oppnår vi fasevinkler mellom spenning og strøm som ligger mellom null og +/-90 grader.

Regneeksempel:

Vi bruker en motstand på 150 Ohm koplet i serie med en kondensator på 1.2 µF og en spole på 3.3 mH. Impedansen blir generelt:

$\ {Z =} 150 -{j\over {\omega C}} + {\omega L}$

- - Ved 2kHz er $\ \omega$ ca. 12566 rad/sek og

- - $\ Z = 150 -j66.3 + j41.5 [\Omega ]$
    
    $\ Z = 150 -j24.8[\Omega ]$

- - Impedansen domineres av resistansen og er ellers kapasitiv

- - $\ {\phi} = {{\tan ^{-1}}({X\over R})} = {\tan ^{-1} -0.1653} = -9.39 grader$

- - Impedansens størrelse blir:
    
    $\ |Z| = \sqrt {R^2+X^2} = \sqrt {22500 + 615} = ca. 152 [\Omega ]$

- - Ved 20kHz er $\ \omega$ ca. 125663 rad/sek og

- - $\ Z = 150 -j6.63 + j415 [\Omega ]$
    
    $\ Z = 150 +j408[\Omega ]$

- - Impedansen domineres av induktansen og er derfor induktiv

- - $\ {\phi} = {{\tan ^{-1}}({X\over R})} = {\tan ^{-1} 2.72} = 69.8 grader$

- - Impedansens størrelse blir:
    
    $\ |Z| = \sqrt {R^2+X^2} = \sqrt {22500 + 166464} = ca. 435 [\Omega ]$

[rediger] Beskrivelse med kompleks matematikk

Man kan beskrive impedanser ved hjelp av vektorer, men det er nokså tungvint.

Impedansbeskrivelser og kompleks matematikk har det til felles at begge bruker to størrelser som er ortogonale til hverandre, altså alltid står 90 grader på hverandre. Av den grunn passer denne grenen av matematikken ypperlig som verktøy for beskrivelse av og operasjoner med, impedanser. Begreper som imaginær og reell kommer fra matematikken som vi benytter, men det er ingenting som er imaginært med fysikken som vi betrakter.

Det eneste vi trenger å gjøre er å definere reaktansen som imaginær, og etter det kan vi bruke hele regelverket fra den komplekse matematikken for å lett beskrive eller behandle kompliserte impedanser.

Vi skrev i første kapittel at vi ikke bare kunne addere reaktanser og resistanser selv om begge måles i Ohm.
Med innføringen av den imaginære enheten gjelder ligningene herfra uinnskrenket.

$\Z = R+jX$

Impedansens tallverdi blir da:

$|Z| = {\sqrt {R^2+X^2}}$