Binomisk fordeling

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

En binomisk fordeling eller binomialfordeling er en diskret fordeling (et begrep innen sannsynlighetsteori og matematisk statistikk) som håndterer hyppige (diskrete) forsøk med fast sannsynlighet.

Dersom en stokastisk variabel X er binomisk fordelt, med n=antall forsøk og p=sannsynligheten for å lykkes i hvert forsøk, skriver man :

$X \in Bin(n,p)$

X har sannsynlighetsfunksjonen

$p_X(k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}.$

der p er sannsynligheten for at hendelsen skal inntreffe og 1 - p = q således sannsynligheten for at hendelsen ikke skal inntreffe. Slik dukker binomialkoeffisientene opp i fordelingen.

Binomialfordelingen kan under visse omstendigheter tilnærmes med andre fordelinger. Tommelfingerregelen er at dersom $p < 0,1$ kan fordelingen tilnærmes med poissonfordelingen Po(np), eller dersom $n p (1 - p) > 10$ med normalfordelingen N( $n p$ , $\sqrt{npq}$ ).

Eksempel: Statistikerens favoritteksempel er urnemodeller som bygger på urner med svarte og hvite kuler. Sannsynligheten for å ta ut en hvit kule ved en tilfeldig trekning er p. Sannsynligheten for at man tar ut nøyaktig k hvite kuler ved n forsøk, dersom man har s antall svarte og v hvite kuler i en urne, og legger tilbake kulene mellom hver trekning (trekning med tilbakelegging), gis da av sannsynlighetsfunksjonen over med

$p = {v \over {s+v}} \quad og \quad q = 1 - p,$

der p og q gis gjennom den klassiske sannsynlighetsdefinisjonen.

Eksempel 2: Dersm man kaster en terning tre ganger, og terningen er velbygd, slik at sannsynligheten for å få en sekser er 1/6, blir sannsynligheten for å få sekser to ganger

$P = {3 \choose 2} \left( {1 \over 6} \right)^2 {5 \over 6} = {5 \over 72}.$