Mersennepriemgetal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Mersennepriemgetallen zijn priemgetallen van de vorm 2ⁿ - 1. Ze zijn genoemd naar de Franse wiskundige Marin Mersenne, die ze voor het eerst onderzocht.

Bewezen is dat wanneer p = 2ⁿ-1 priem is, dat dan ook n priem moet zijn.

In 1644 claimde Mersenne dat p priem is als n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 en 257, maar een samengesteld getal is voor de andere 44 priemgetallen kleiner dan 257. Mersenne vergiste zich in vijf van deze priemgetallen (61, 89 en 107 leiden wel tot een priemgetal; 67 en 257 niet).

Van getallen van deze vorm is, bij grote getallen, gemakkelijker met de Lucas-Lehmertest voor mersennegetallen te bewijzen, of ze wel of niet priem zijn dan voor de meeste andere typen van getallen. Het grootst bekende priemgetal is daarom vrijwel altijd een mersennepriemgetal. Het grootst nu (september 2006) bekende priemgetal is 2^32582657-1 (met 9.808.358 cijfers).

Er is een verband tussen mersennepriemgetallen en perfecte getallen. Perfecte getallen zijn getallen waarbij de som van de delers gelijk is aan het getal zelf. Er geldt namelijk dat als 2ⁿ-1 een priemgetal is, dat dan een perfect getal is. Het omgekeerde geldt ook: ieder (in ieder geval even) perfect getal kan geschreven worden als waarbij n een priemgetal is en 2ⁿ-1 een mersennepriemgetal.

Bijvoorbeeld: voor n = 3 geldt dat 2ⁿ-1 = 2³-1 = 7 een priemgetal is.
wordt dan = 4 * 7 = 28 is een perfect getal.

Toepassingen van mersennepriemgetallen liggen in beveiliging van gegevens met behulp van encryptie, en in het genereren van toevalsgetallen (met hulp van de Mersenne-twister).

Er zijn op dit moment 44 mersennepriemgetallen bekend, de laatste is in september 2006 gevonden.

Bekende mersennepriemgetallen zijn:

• 4 september 2006: 2^32582657-1 (met 9.808.358 cijfers) Curtis Cooper en Steven Boone/GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search)
• 15 december 2005: 2^30402457-1 (met 9.152.052 cijfers) Curtis Cooper en Steven Boone/GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search)
• 28 februari 2005: 2^25964951 -1 (met 7.816.230 cijfers)
• 15 mei 2004: 2^24036583 -1 (met 7.235.733 cijfers)
• 17 november 2003: 2^20996011 -1 (met 6.320.430 cijfers)
• 14 november 2001: 2^13466917-1
• 1 juni 1999: 2^6972593-1
• 27 januari 1998: 2^3021377-1
• 24 augustus 1997: 2^2976221-1
• november 1996: 2^1398269-1
• 1996:2^1257787-1
• 1994: 2⁸⁵⁹⁴⁴³-1
• 1992: 2⁷⁵⁶⁸³⁹-1
• 1988: 2¹¹⁰⁵⁰³-1 (Niet de grootste van dat moment!)
• 1985: 2²¹⁶⁰⁹¹-1
• 1983: 2¹³²⁰⁴⁹-1
• 1982: 2⁸⁶²⁴³-1
• 1979: 2²³²⁰⁹-1, 2⁴⁴⁴⁹⁷-1
• 1978: 2²¹⁷⁰¹-1
• 1971: 2¹⁹⁹³⁷-1
• 1963: 2⁹⁶⁸⁹-1, 2⁹⁹⁴¹-1, 2¹¹²¹³-1
• 1961: 2⁴²⁵³-1, 2⁴⁴²³-1
• 1957: 2³²¹⁷-1
• 1952: 2⁵²¹-1, 2⁶⁰⁷-1, 2¹²⁷⁹-1, 2²²⁰³-1, 2²²⁸¹-1
• Vóór 1915: 2²-1, 2³-1, 2⁵-1, 2⁷-1, 2¹³-1, 2¹⁷-1, 2¹⁹-1, 2³¹-1, 2⁶¹-1, 2⁸⁹-1, 2¹⁰⁷-1 en 2¹²⁷-1

[bewerk] Externe links

• GIMPS project: Great Internet Mersenne Prime Search (en)

Bijzondere getallen
Bevriende getallen - Bijna perfect getal - Constante van Gelfond - Constante van Kaprekar - e - Fermatgetal - Gebrekkig getal - Getal van Graham - Gulden snede - Illegaal priemgetal - Kaprekargetal - Mersennepriemgetal - Natuurlijk getal - Overvloedig getal - Perfect getal - Pi - Priemgetal - Priemtweeling - Samengesteld getal - Semiperfect getal - Sphenisch getal