Hotellings T-kwadraat

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Hotellings T², kort voor de Hotellings T²-toets, is een statistische toets, genoemd naar Harold Hotelling, die men kan zien als een multivariate generalisatie van de t-toets. Met Hotellings T² wordt eigenlijk de toetsingsgrootheid bedoeld, gedefinieerd door:

$T^2=n(\overline{X}-\mu_0)'S^{-1}(\overline{X}-\mu_0),$

gebaseerd op een (aselecte) steekproef $X_1,\dots,X_n$ uit een p-dimensionale verdeling. In de formule stelt op de gebruikelijke manier $\overline{X}$ het steekproefgemiddelde voor en

$S=\frac 1{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})(X_i-\overline{X})'$

de p×p-steekproefcovariantiematrix.

Als de p-dimensionale verdeling een normale verdeling is met vector van verwachtingswaarden $\mu_0\,$ , geldt dat:

$\frac{n-p}{p(n-1)}T^2$

een F(p,n-p)-verdeling heeft, dus een F-verdeling met p vrijheidsgraden in de teller en n-p in de noemer.

Hotellings T² distributie wordt vaak gebruikt om uitbijters in multivariate data te detecteren. De Hotelling T² test is een multivariate t-test en maakt gebruikt van de covariantie matrix S van de data:

$S = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}(X_{ij}-\overline{X})(X_{ij}-\overline{X})'$

Met:

n: de totale populatiegrootte of het totaal aantal stalen

n_i het aantal stalen van de genomen subgroep i

k het aantal gemeten variabelen per staal

X_ij: vector: het j^de staal uit de i^de groep

$\overline{X}$ : de vector met de gemiddelde meetwaarden van de volledige populatie

De Hotelling T² waarden worden berekend afhankelijk van het feit of er subgroepen zijn en of het populatiegemiddelde (het gemiddelde van alle meetwaarden) gekend is. Men moet subgroepen definiëren, wanneer men merkt dat de meetgegevens in groepen voorkomen. Bijvoorbeeld, wanneer een industriële productie niet volcontinu, maar per ketel, per ton, per vrachtwagen binnengekomen grondstof, ... (men zegt dan ook per batch) gebeurt, dan vormt elke geproduceerde batch een afzonderlijke eenheid of subgroep in de meetgegevens. Van elke zo geproduceerde eenheid of subgroep neemt men dan 1 of meerdere stalen waarvan meetgegevens verzamelt worden.

De Hotelling T² waarden worden berekend volgens de vierde kolom van onderstaande tabel. Deze waarden volgen een F-distributie, waarvan het aantal vrijheidsgraden wordt weergegeven tussen haakjes in de formules uit de vijfde kolom. De grenswaarde waarmee vergeleken wordt, is de p^de percentiel (de waarde van de distributie waarvoor p% van de stalen een hogere waarde heeft) van deze distributie. In de Hotelling T² distributie wordt verondersteld dat de populaties komen uit multivariate normaal verdeelde populaties. Zijn de varianties van de subgroepen niet gelijk, dan gebruikt men een gewogen covariantiematrix S_W:

$S_W = \frac{1}{n-k}\sum_{i=1}^{k}(n_i - 1)S_i$

Met:

S_i: de covariantiematrix voor de groep i

Grootte subgroep (m)	Populatie-gemiddelde μ_T	Covariantie	T²-statistiek	kritieke waarde voor T²
1	Bekend	S	$(X - μ T)' S - 1 (X - μ T)$	$\frac{p (n-1)}{n-p} F_{(p, n-p)}$
	Bekend	S_w	$(X - \mu _T)' S_w^{-1} (X - \mu _T)$	$\frac{p (n-k)}{n-k-p+1} F_{(p, n-k-p+1)}$
	Onbekend	S	$(X - \overline{X})' S^{-1} (X - \overline{X})$	$\frac{p (n+1)(n-1)}{n(n-p)} F_{(p, n-p)}$
	Onbekend	S_w	$(X - \overline{X})' S_w^{-1} (X - \overline{X})$	$\frac{p (n-k)(n+1)}{n(n-k-p+1)} F_{(p, n-k-p+1)}$
> 1	Bekend	S	$(\overline{X}_s - \mu _T)' S^{-1} (\overline{X}_s - \mu _T)$	$\frac{p (n-1)}{m(n-p)} F_{(p, n-p)}$
	Bekend	S_w	$(\overline{X}_s - \mu _T)' S_w^{-1} (\overline{X}_s - \mu _T)$	$\frac{p (n-k)}{m(n-k-p+1)} F_{(p, n-k-p+1)}$
	Onbekend	S	$(\overline{X}_s - \overline{X})' S^{-1} (\overline{X}_s - \overline{X})$	$\frac{p (m+n)(n-1)}{mn(n-p)} F_{(p, n-p)}$
	Onbekend	S_w	$(\overline{X}_s - \overline{X})' S_w^{-1} (\overline{X}_s - \overline{X})$	$\frac{p (m+n)(n-k)}{mn(n-k-p+1)} F_{(p, n-k-p+1)}$