Fouriertransformatie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de wiskunde, meer bepaald binnen de Fourieranalyse, is de (continue) Fouriertransformatie een lineaire integraaltransformatie die een functie afbeeldt op een andere functie. De Fourier transformatie ontbindt een functie in een continu spectrum van frequenties. In de mathematische fysica kan de Fourier getransformeerde F(ω) van een signaal $f (t)$ worden gezien als dat signaal in het "frequentiedomein". De Fouriertransformatie veralgemeent dus voor niet-periodieke functies de Fourierreeks van een periodieke functie. Een veralgemening van de Fouriertransformatie is de Laplacetransformatie.

Stel dat $f$ een complexe Lebesgue-integreerbare functie is. Dan definiëren we de bijbehorende continue Fouriergetransformeerde $F$ als de volgende complexe functie:

$F(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{- i\omega t}\,dt$

voor ieder reëel getal $ω$ . (Hierbij is $i$ de imaginaire eenheid). We zien $ω$ als een hoekfrequentie en $F (ω)$ als het complexe getal dat de amplitude en fase aangeeft van de signaalcomponent van $f (t)$ bij die frequentie.

De Fouriertransformatie is - op een minteken in de e-macht achter de integraal na - haar eigen omgekeerde transformatie: als $F (ω)$ gedefinieerd is als boven, en $f (t)$ voldoende 'glad' is, dan geldt

$f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{ i\omega t}\,d\omega$

voor ieder reëel getal $t$ .

De factoren $1\over\sqrt{2\pi}$ voor de integralen zijn normalisatie-factoren. Deze zijn vrij te kiezen zolang hun product maar gelijk is aan $1 \over 2 \pi$ . De hierboven gekozen waardes worden unitaire normalisatie constanten genoemd; een andere gebruikelijke keuze is 1 en $1 / 2π$ voor resp. de voorwaartse en inverse transformatie. Een vuistregel is dat wiskundigen de voorkeur geven aan de eerste variant (uit symmetrie-overwegingen), terwijl natuurkundigen en technici de tweede variant gebruiken.

Ook zij hier opgemerkt dat de Fourier variabele $ω$ soms wordt vervangen door $2πν$ , waarbij de integratie plaatsvindt over de frequentie $ν$ (in plaats van de hoek); in dat geval zijn de unitaire normalisatie constanten beiden gelijk aan 1. Een andere arbitraire keuze is of de exponent $+ i ω t$ dan wel $- i ω t$ is in de voorwaartse transformatie; de enige echte eis is dat in de voorwaartse- en inverse transformatie de exponenten een tegengesteld teken hebben.

Inhoud

1 Overzicht standaardfouriertransformaties
2 Toepassingen
3 Abstracte Fouriertransformatie
- 3.1 Voorbeelden
4 Zie ook

[bewerk] Overzicht standaardfouriertransformaties

functie	Fouriergetransformeerde functie
$\! f(t)$	$\!F(\omega)$
$\!f(t-c)$	$\!e^{-i c \omega}F(\omega)$
$\!e^{i c t}f(t)$	$\!F(\omega - c)$
$\!f(at)$	$\!a^{-1}F(a^{-1}\omega)$
$\frac{d}{dt} f(t)$	$\!i \omega F(\omega)$
$\frac{d^2}{dt^2} f(t)$	$\!- \omega^{2} F(\omega)$

[bewerk] Toepassingen

De Fouriertransformatie wordt in de natuurkunde vooral toegepast om lineaire differentiaalvergelijkingen te vereenvoudigen naar algebraïsche vergelijkingen. Voorbeelden zijn de warmtevergelijking en de golfvergelijking. Inderdaad, zoals hierboven staat, zet de Fouriertransformatie een afgeleide om naar een product, wat uiteraard veel eenvoudiger is.

In de informatica wordt Fouriertransformatie ook gebruikt bij procedurele generatie van texturen.

[bewerk] Abstracte Fouriertransformatie

De continue Fouriertransformatie, maar ook Fourierreeksen en de discrete Fouriertransformatie kunnen worden opgevat als verschillende manifestaties van een abstracte transformatie in de context van complexwaardige functies op Liegroepen.

Zij G een lokaal compacte abelse Liegroep. Dan beschikt G over een linksinvariante Borelmaat μ, Haarmaat genaamd. Noteer G^ voor de (Pontryagin-)duale groep, dat is de groep der karakters van G (continue homomorfismen naar de eenheidscirkel in het complexe vlak) met de puntsgewijze vermenigvuldiging.

Zij f een element van L¹(G,dμ), d.w.z. een Haar-integreerbare complexwaardige functie op G. De Fouriergetransformeerde $\hat f$ van f is een complexwaardige functie op G^, gegeven door het voorschrift

$\hat f(\chi)=\int_Gf(g)\overline{\chi(g)}\hbox{d}\mu(g),\ \chi\in\hat G$

De Fouriergetransformeerde wordt begrensd door de Haarintegraal van f. Omgekeerd, zij F een complexe functie op G^ die integreerbaar is ten opzichte van de Haarmaat ν van G^, dan is de inverse Fouriergetransformeerde

$\check F(g))=\int_{\hat G}F(\chi)\chi(g)\hbox{d}\nu(\chi),\ g\in G$

Hierbij wordt gebruik gemaakt van het feit dat de duale groep van G^ op canonische wijze isomorf is met G.

[bewerk] Voorbeelden

De gewone continue Fouriertransformatie is de abstracte Fouriertransformatie, toegepast op de Liegroep $(\mathbb{R},+).$ Deze groep is canonisch isomorf met zijn eigen duale. Continue groepshomomorfismen van de reële getallen naar de complexe eenheidscirkel zijn van de vorm

$\chi_t:x\mapsto\exp(itx)$

voor een vast reëel getal t. De vermenigvuldiging van twee dergelijke karakters komt overeen met de optelling van reële getallen:

χ t (x)χ s (x) = χ t + s (x)

Periodieke complexwaardige functies van de reële getallen zijn eigenlijk complexe functies op de eenheidscirkel. De duale groep van de eenheidscirkel is de optelling van gehele getallen. De Fourierreeks van een periodieke functie kan dus worden opgevat als haar abstracte Fouriertransformatie in bovenstaande zin. De Fouriergetransformeerde is een functie van de gehele getallen naar de complexe getallen, gevormd door de rij der coëfficiënten van de Fourierreeks.

Periodieke complexwaardige functies met één of meer discrete parameters zijn eigenlijk complexe functies op een eindige abelse groep. De duale van een dergelijke groep is eveneens eindig (en isomorf met de oorspronkelijke groep, maar niet op canonische wijze). De discrete Fouriertransformatie is de abstracte Fouriertransformatie, toegepast op een dergelijke groep.

[bewerk] Zie ook

Categorie: Analyse

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Fouriertransformatie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Inhoud

[bewerk] Overzicht standaardfouriertransformaties

[bewerk] Toepassingen

[bewerk] Abstracte Fouriertransformatie

[bewerk] Voorbeelden

[bewerk] Zie ook

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen