Fourier'n muunnos

Wikipedia

Mikä tahansa (riittävän säännöllinen) funktio voidaan esittää siniaaltoisten funktioiden integraalina. Fourier'n muunnos kertoo näiden sinimuotoisten komponenttien amplitudin ja vaiheen.

Fourier'n muunnos on jatkuva integraalimuunnos. Fourier'n muunnos $\hat f(\omega)$ funktiosta $f(x)\,$ voidaan määritellä

$\hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega x}\, f(x) dx$ .

Kaavassa $\omega\,$ on (kulma)taajuus ja Fourier'n muunnoksen määritelmä riippuu normalisaation ja eksponenttifunktion etumerkin valinnasta, joten kirjallisuudessa on usein nähtävillä myös hieman poikkeavia määritelmiä. Fourier'n muunnokseen liittyy kiinteästi käänteismuunnos, joka riippuu Fourier'n muunnoksen valinnasta. Edellä esitetyn Fourier'n muunnoksen käänteismuunnos on

$f(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega x}\, \hat f(\omega) d \omega$ .

[muokkaa] DFT

DFT eli diskreetti Fourier'n muunnos on Fourier'n muutoksen diskreetti versio. Siinä signaali ajatellaan jaksolliseksi, jolloin se voidaan esittää Fourier'n sarjana ja integraali korvata summalausekkeella.

$F_n=\sum_{k=0}^{N-1} f_k e^{-2\pi ink/N}$ .

Kaavassa $f_k\,$ sisältää muunnettavan funktion arvot välillä [0,1], joka on jaettu N:ään osaan.

Vastaava käänteismuunnos on

$f_k=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} F_n e^{2\pi ink/N}$ .

[muokkaa] FFT

FFT (Fast Fourier Transform) eli nopea Fourier'n muunnos on algoritmi DFT:n laskemiseksi nopeasti ja tehokkaasti. Jos DFT laskettaisiin suoraan määritelmästä, tarvittavien laskentaoperaatioiden määrä olisi verrannollinen näytepisteiden määrän neliöön $N^2\,$ . On kuitenkin olemassa joukko optimoituja algoritmeja, joilla DFT voidaan laskea hyvin tehokkaasti. Näistä algoritmeista käytetään nimitystä FFT. FFT algoritmien laskennallinen kompleksisuus on luokkaa $O(N \, \operatorname{log} \, N\,)$ . FFT:n nopeusero verrattuna suoraan DFT:n määritelmästä laskemiseen on hyvin merkittävä kun näytepisteiden määrä on suuri. Käytännön sovelluksissa Fourier'n muunnos lasketaan aina numeerisesti FFT:n avulla.

[muokkaa] Käytännön sovelluksia

FFT:tä käytetään hyväksi tekniikan ja fysiikan sovelluksissa, jotka perustuvat ilmiöiden jaksollisuuden tai spektrin mittaamiseen. Tärkeitä FFT:n sovelluksia ovat esimerkiksi spektrianalyysi ja OFDM tietoliikennetekniikassa sekä kuvan rekonstruktio magneettikuvauksessa.

MP3-äänenpakkausmenetelmässä äänen spektri lasketaan FFT:n avulla ja spektri pakataan (häviöllisesti) jättämällä pois spektrikomponentit, joiden energia on pieni. Purku tapahtuu syntetisoimalla spektri takaisin aalloiksi.

Tutkimalla valssatun nauhan paksuusprofiilia FFT:llä voidaan löytää epäkeskeisesti hiotut valssit tai kuluneet laakerit. Laakereiden kunnon seurantajärjestemät perustuvat usein FFT:hen.

[muokkaa] Katso myös

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.

Luokat: Matematiikkatyngät | Analyysi | Aaltoliike | Integraalimuunnokset

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Fourier'n muunnos

Wikipedia

Sisällysluettelo

[muokkaa] DFT

[muokkaa] FFT

[muokkaa] Käytännön sovelluksia

[muokkaa] Katso myös

Views

Valikko

Haku

Muilla kielillä