Driehoeksmatrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de lineaire algebra, is een driehoeksmatrix een vierkante matrix waarin alle elementen onder of boven de hoofddiagonaal nul zijn. Indien de elementen onder de hoofddiagonaal nul zijn, wordt de matrix een bovendriehoeksmatrix genoemd, anders een benedendriehoeksmatrix. Aangezien een stelsel lineaire vergelijkingen Ax = b, waarbij A een driehoeksmatrix is, eenvoudig is op te lossen, zijn driehoeksmatrices zeer belangrijk in de numerieke analyse. LU-decompositie geeft een algoritme om elke inverteerbare matrix A te splitsen in een genormeerde benedendriehoeksmatrix L en een bovendriehoeksmatrix U.

[bewerk] Definitie

Een benedendriehoeksmatrix is een matrix van het type

$L = \begin{bmatrix} l_{1,1} & 0 & \ldots & \ldots & \ldots & 0 & 0 \\ l_{2,1} & l_{2,2} & 0 & \ldots & \ldots & 0 & 0 \\ l_{3,1} & l_{3,2} & l_{3,3} & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \ddots & 0 & 0 \\ l_{n-1,1} & l_{n-1,2} & l_{n-1,3} & \ldots & \ldots & l_{n-1,n-1} & 0 \\ l_{n,1} & l_{n,2} & l_{n,3} & \ldots & \ldots & l_{n,n-1} & l_{n,n} \end{bmatrix}$

Een bovendriehoeksmatrix is een matrix van het type

$U = \begin{bmatrix} u_{1,1} & u_{1,2} & u_{1,3} & \ldots & \ldots & u_{1,n-1} & u_{1,n} \\ 0 & u_{2,2} & u_{2,3} & \ldots & \ldots & u_{2,n-1} & u_{2,n} \\ 0 & 0 & u_{3,3} & \ldots & \ldots & u_{3,n-1} & u_{3,n} \\ 0 & 0 & 0 & \ddots & & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & u_{n-1,n-1} & u_{n-1,n} \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & \ldots & 0 & u_{n,n} \end{bmatrix}$