Bewijs dat wortel 2 irrationaal is

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Door Euclides is al het hieronder volgende getaltheoretische bewijs dat wortel 2 irrationaal is gegeven in Boek X van De Elementen. In algemenere vorm was een dergelijk bewijs al eerder bekend, evenals meetkundige bewijzen. De stelling met dit bewijs staat op de eerste plaats in de in 1999 gepubliceerde lijst van de 100 belangrijkste wiskundige stellingen

De stelling dat $\sqrt{2}\!$ een irrationaal getal is, betekende de ontdekking van getallen die niet rationaal waren, dus niet de verhouding van natuurlijke getallen waren. Daarmee werd het wereldbeeld van de Pythagoreërs die de natuurlijke getallen als de maat van alle dingen beschouwden, overhoop gegooid.

Het door Euclides gegeven bewijs is een voorbeeld van een zogenaamd 'bewijs uit het ongerijmde': Neem aan dat de wortel uit 2 een rationaal getal is, dus te schrijven als het quotiënt van twee gehele getallen. Vervolgens leidt een logische redenering tot een tegenspraak. Bijgevolg is de veronderstelling verkeerd en is bewezen dat de wortel uit 2 geen rationaal getal is.

[bewerk] Bewijs

Veronderstel dat $\sqrt{2}\!$ een rationaal getal is en dus te schrijven als het quotiënt van twee gehele getallen.

Van die twee gehele getallen zoeken we alle gemeenschappelijke delers, en vervolgens delen we zowel teller als noemer door die delers. Het resultaat is dat de wortel uit 2 geschreven kan worden als a/b, waarbij a en b gehele getallen zijn zonder gemeenschappelijke delers. De grootste gemene deler van a en b is bijgevolg 1; anders geformuleerd: er is geen gemeenschappelijke deler groter dan 1.

Uit $\sqrt{2}=\frac{a}{b}\!$ volgt: $b \sqrt{2}=a\!$ .

Kwadrateren links en rechts van het gelijkteken levert: $2b^2=a^2\!$ .

Daaruit volgt dat $a^2\!$ een even getal is.

Omdat het kwadraat van een oneven geheel getal altijd oneven is, kan a niet oneven zijn en dus is a zelf even. Zeg a = 2 p, met p een geheel getal. Daaruit volgt weer:

$2b^2 = a^2 = (2p)^{2} = 4p^{2}\!$ , dus $b^2=2p^2\!$ . We zien dat b² even is, en op dezelfde manier als hierboven bij a, trekken we de conclusie dat b ook even is.

Zowel a als b zijn dus even en bijgevolg deelbaar door 2; hieruit volgt: de grootste gemeenschappelijke deler van a en b is groter dan 1 (minstens 2)! Dit is echter in tegenspraak met onze keuze van a en b, die geen gemeenschappelijke deler hebben.

Onze veronderstelling was bijgevolg verkeerd en daarmee is bewezen dat de wortel uit 2 een irrationaal getal is. Q.E.D.