2의 제곱근
위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.
2의 제곱근, 
는 스스로 곱해서 2가 되는 양의 실수로, 피타고라스 상수로도 잘 알려져 있다. 소수점이하 65자리까지의 근사값(OEIS의 수열 A002193)은 다음과 같다.
- 1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799
또, √2 는 첫번째로 알려진 무리수이다. 기하학적으로 피타고라스 정리에 따르면 는 한변의 길이가 단위 1인 정사각형의 대각선의 길이다.
[편집] 무리수 증명
이 수가 무리수라는 것은 귀류법을 이용해서 증명할 수 있다.
- 만약 √2가 유리수라고 하면, a / b = 를 만족하고 서로 소인 정수 a와 b가 존재한다.
- 그렇다면 양변을 제곱한 식인 (a / b)2 = 2가 성립한다.
- 정리하면 a2 = 2 b2가 되고, 우변이 짝수이므로 좌변도 짝수이고, 따라서 a도 짝수가 된다.
- 그러면 a = 2 k인 정수 k가 존재하고, 이 식을 대입하면 (2 k)2 = 2 b2이 된다.
- 정리하면 b2 = 2k2이고, 같은 방법으로 b는 짝수여야 한다.
- (3)과 (5)에서 2는 a와 b의 공약수이고, 이것은 처음에 두 수가 서로 소라는 조건과 모순된다.
- 따라서, 처음의 가정이 잘못되었고, 결국 는 무리수이다.
