Algebrinė struktūra

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

Algebrinė struktūra matematikoje yra aibė su joje apibrėžta viena arba keliomis operacijomis - kompozicijos dėsniais (operacijomis), tenkinančiais tam tikras savybes.

Turinys 1 Pagrindinės algebrinės struktūros 1.1 Pusgrupė 1.2 Monoidas 1.3 Grupė 1.4 Abelio grupė 1.5 Žiedas 1.6 Kūnas 1.7 Laukas

[taisyti] Pagrindinės algebrinės struktūros

[taisyti] Pusgrupė

Pusgrupė tai yra aibė, kurioje apibrėžtas asociatyvus kompozicijos dėsnis:

(a + b) + c = a + (b + c)

Čia a,b,c - aibės elementai, + - kompozicijos dėsnis (bendrąja prasme, nebūtinai sudėtis)

[taisyti] Monoidas

Monoidas – yra pusgrupė, kurioje yra neutralusis elementas (vienetas) toks, kad:

a + e = e + a = a

Čia e yra neutralus elementas.

[taisyti] Grupė

Grupė tai yra monoidas, kuriame kiekvienas elementas turi sau simetrinį elementą (atvirkštinį):

a + a ^{− 1} = a ^{− 1} + a = e

Čia a ^{− 1} elementas atvirkštinis a.

[taisyti] Abelio grupė

Abelio grupė tai yra grupė, kurioje esantis kompozicijos dėsnis yra komutatyvus:

a + b = b + a

Čia a,b - aibės elementai.

[taisyti] Žiedas

Žiedas tai yra aibė su joje įvestais dviem kompozicijos dėsniais (). Pirmojo kompozicijos dėsnio ( + ) atžvilgiu žiedas yra Abelio grupė. Antrojo kompozicijos dėsnio () atžvilgiu žiedas yra pusgrupė. Ir taip pat abiems kompozicijos dėsniams galioja distributyvumo taisyklė:

Čia a,b,c aibės elementai.

[taisyti] Kūnas

Kūnas (angl. division ring) tai yra žiedas, kuris pirmojo kompozicijos dėsnio ( + ) atžvilgiu yra Abelio grupė. Antrojo kompozicijos dėsnio () atžvilgiu yra tiesiog grupė (nebūtina komutatyvumo sąlyga), kurioje atvirkštinis elementas apibrėžtas visiems aibės elementams, išskyrus "0" - pirmojo kompozicijos dėsnio ( + ) neutralųjį (vienetinį) elementą.

[taisyti] Laukas

Laukas tai yra kūnas, kuriame antrasis kompozicijos dėsnis () yra komutatyvus. Arba kitas apibrėžimas, kad tai yra žiedas, kuriame abu kompozicijos dėsniai yra Abelio grupės.