완전수

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수론에서 완전수(完全數)는 자기 자신을 제외한 양의 약수를 더했을 때 자기 자신이 되는 양의 정수를 말한다.

최초 네 개의 완전수는 6, 28, 496, 8128이다.

   6 = 1 + 2 + 3
  28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

또, 완전수는 항상 연속되는 자연수의 합으로 표현할 수 있다.

   6 = 1 + 2 + 3
  28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 
 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + . . . + 30 + 31 
8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + . . . + 126 + 127

[편집] 짝수 완전수

고대 그리스인들은 이들 네 개의 완전수 밖에는 알지 못했다. 유클리드는 이들을 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) 에 알맞은 수를 대입해 구할 수 있다는 것을 발견했다.

n = 2 일때: 2¹(2² − 1) = 6

n = 3 일때: 2²(2³ − 1) = 28

n = 5 일때: 2⁴(2⁵ − 1) = 496

n = 7 일때: 2⁶(2⁷ − 1) = 8128

유클리드는 여기서 2ⁿ − 1이 언제나 소수라는 점에 착안하여 2ⁿ − 1가 소수일 때 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1)는 완전수라는 것을 증명했다.

이때 n은 언제나 소수이지만 n이 소수라고 2ⁿ − 1도 꼭 소수가 되지는 않는다. 2ⁿ − 1이 소수일 때는 이를 메르센 소수라고 부른다. 마랭 메르센은 17세기에 정수론과 완전수를 연구한 수도승이었다.

유클리드 이후 2천년이 지나, 레온하르트 오일러는 모든 짝수 완전수는 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1)의 형태라는 것을 증명했다. 즉 짝수 완전수와 메르센 소수 사이에는 일대일 대응이 있다는 것이 밝혀졌다. 메르센 소수의 수가 유한한지 무한한지는 알려져 있지 않다. 그러므로 완전수의 수가 무한한지도 알려져 있지 않다.