Täydellinen luku

Wikipedia

Täydellinen luku on positiivinen kokonaisluku, joka on itseään pienempien tekijöidensä summa. Täydellisiä lukuja ovat esimerkiksi 6 ja 28, koska 1 + 2 + 3 = 6 ja 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Positiiviset kokonaisluvut, jotka eivät ole täydellisiä, ovat joko runsaita tai vajaita.

Sisällysluettelo

1 Laskenta
2 Ominaisuuksia
- 2.1 Tekijöiden käänteislukujen summa
3 Katso myös

[muokkaa] Laskenta

Muinaiset kreikkalaiset tunsivat vain neljä pienintä täydellistä lukua. Eukleides oli huomannut, että ne saadaan kaavalla

$2^{n - 1}(2^n - 1) \,\!$ .

Eukleideen tuntemat täydelliset luvut ovat:

n = 2: $2^1(2^2 - 1) = 6 = 1 + 2 + 3 \,\!$
n = 3: $2^2(2^3 - 1) = 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 \,\!$
n = 5: $2^4(2^5 - 1) = 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 \,\!$
n = 7: $2^6(2^7 - 1) = 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 \,\!$ .

Eukleides osoitti, että $2^{n - 1}(2^n - 1) \,\!$ on täydellinen luku aina, kun $2^n - 1 \,\!$ on Mersennen alkuluku. Vasta noin 2000 vuotta myöhemmin Leonhard Euler pystyi todistamaan, että kaavalla voidaan tuottaa kaikki parilliset täydelliset luvut. Ei kuitenkaan tiedetä, onko olemassa parittomia täydellisiä lukuja. Tiedetään kuitenkin, että parittoman täydellisen luvun täytyy olla suurempi kuin $10300$ ja sillä täytyy olla vähintään 8 alkulukutekijää, mikäli se on olemassa. Jos luku ei ole kolmella jaollinen, alkulukutekijöitä on vähintään 11. Mersennen alkulukuja ja siten myös täydellisiä lukuja etsitään GIMPS-projektin avulla.