아페리 상수

위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.

수학에서, 아페리상수는 여러 곳에서 발견되는 흥미로운 수이다. 이 상수는 양자전기동역학에서 사용되는 전자의 회전자기율의 2차와 3차항을 포함하는 여러 물리학 문제에서 자연스럽게 나타난다. 또 물리학에서 때때로 나타나는 계수내에서 지수함수를 가진 어떤 적분을 풀려고 할때, 예를 들면 디바이 모델의 2차원의 경우를 평가할 때와 같이 감마함수와 관련되어 나타난다.
아페리상수는 $ζ(3)$ 으로 정의 된다.

$\zeta(3)=1+\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} +\frac{1}{4^3} + \cdots$

여기서 ζ는 리만제타함수를 가리킨다. 아페리 상수는 대략 다음의 값을 가진다.

$\zeta(3)=1.20205\; 69031\; 59594\; 28539\; 97381\; 61511\; 44999\; 07649\; 86292\,\ldots$ (OEIS의 수열 A002117)

이 수의 역수는 임의로 택한 세 양의 정수가 서로 소일 확률이다.(N이 무한하게 커질때 임의로 균일하게 선택된 N보다 작은 세 양의 정수가 서로 소일 확률이 이 값에 접근한다는 의미에서).

List of numbers γ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - e - π - δ
Binary	1.001100111011101...
Decimal	1.2020569031595942854...
Hexadecimal	1.33BA004F00621383...
Continued fraction	$1 + \frac{1}{4 + \frac{1}{1 + \frac{1}{18 + \frac{1}{\ddots\qquad{}}}}}$ Note that this continuing fraction is not periodic.

[편집] 아페리 정리

이 부분의 본문은 아페리 정리입니다.

이 값은 1978년에 이 상수가 무리수임을 밝힌 로저 아페리(1916-1994)를 기념하여 이름 붙여졌다. 그 결과는 아페리 정리라 알려졌다. 원 증명은 이해하기 어렵고 복잡하나 나중에 좀 더 짧은 증명이 르장드르 다항식을 사용하여 얻어졌다. 아페리상수가 초월수인지의 여부는 아직 밝혀지지 않았다.

이 결과는 다른 홀수 n에 대하여 ζ(n)의 구체적 값이 거의 알려지지 않아서 완전히 따로 남아 있다.

[편집] 급수전개

1772년에, 레온하르트 오일러가 다음의 급수 전개를 얻었다.

$\zeta(3)=\frac{\pi^2}{7} \left[ 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {(2k+1)(2k+2) 2^{2k}} \right]$

이 급수는 그 후에 여러번 재발견 되었다.

시몽 플루페 는 다음의 급수를 포함한 몇개의 급수를 얻었는데 그것들이 반복될수록 여러자리의 정확도를 제공할 수 있어서 주목할 만하다:

$\zeta(3)=\frac{7}{180}\pi^3 -2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} -1)}$

그리고

$\zeta(3)= 14 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \sinh(\pi n)} -\frac{11}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} -1)} -\frac{7}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} +1)}.$

$ζ(2 n + 1)$ 의 값과 유사한 관계를 제타상수항목에서 찾을 수 있다.

다음을 포함하여 많은 추가된 급수 전개가 발견되었다:

$\zeta(3) = \frac{8}{7} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^3}$

$\zeta(3) = \frac{4}{3} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(k+1)^3}$

$\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{(n!)^2}{n^3 (2n)!}$

$\zeta(3) = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{56n^2-32n+5}{(2n-1)^2} \frac{((n-1)!)^3}{(3n)!}$

$\zeta(3)=\frac{8}{7}-\frac{8}{7}\sum_{t=1}^\infty \frac{{\left( -1 \right) }^t\,2^{-5 + 12\,t}\,t\, \left( -3 + 9\,t + 148\,t^2 - 432\,t^3 - 2688\,t^4 + 7168\,t^5 \right) \, {t!}^3\,{\left( -1 + 2\,t \right) !}^6}{{\left( -1 + 2\,t \right) }^3\, \left( 3\,t \right) !\,{\left( 1 + 4\,t \right) !}^3}$

$\zeta(3) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{205n^2 + 250n + 77}{64} \frac{(n!)^{10}}{((2n+1)!)^5}$

그리고

$\zeta(3) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{P(n)}{24} \frac{((2n+1)!(2n)!n!)^3}{(3n+2)!((4n+3)!)^3}$

여기서 P(n)은 다음과 같다.

$P(n) = 126392n^5 + 412708n^4 + 531578n^3 + 336367n^2 + 104000n + 12463.\,$

이들중 몇몇이 수백만자리의 아페리상수를 계산하는데 사용되었다. Broadhurst(1998) 은 계산될 수 있는 임의의 이진수를 받아들이는 급수 전개를 얻었다. 따라서 거의 선형시간내에 상수가 계산될 수 있다.

[편집] 기타공식

아페리 상수는 다음 이계의 폴리감마함수항으로 나타낼 수도 있다.

$\zeta(3) = -\frac{1}{2} \, \psi^{(2)}(1).$

[편집] 알려진 자릿수

아페리상수 ζ(3)의 알려진 자릿수들은 지난 10년간 알고리즘의 향상 뿐만 아니라 계산기계의 수행성능 향상에 기인하여 극적으로 증가하였다.

**아페리상수ζ(3)의 알려진 자릿수**
날짜	자릿수	계산 수행한 사람
2007년 1월	2,000,000,000	Howard Cheng, Guillaume Hanrot, Emmanuel Thomé, Eugene Zima & Paul Zimmermann
2006년 4월	10,000,000,000^[1]	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
2003년 2월	1,000,000,000	Patrick Demichel & Xavier Gourdon
2002년 2월	600,001,000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2001년 9월	200,001,000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
1998년 12월	128,000,026	Sebastian Wedeniwski
1998년 2월	14,000,074	Sebastian Wedeniwski
1997년 5월	10,536,006	Patrick Demichel
1997년	1,000,000	Bruno Haible & Thomas Papanikolaou
1996년	520,000	Greg J. Fee & 시몽 플루페
1887년	32	토마스 존스 스틸체스
미정	16	아드리앵 마리 르장드르

[편집] 주석

이 문서는 수학에 관한 토막글입니다. 서로의 지식을 모아 알차게 문서를 완성해 갑시다.

분류: 수학에 관한 토막글 | 수학 상수 | 해석적 수론 | 무리수

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.