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アペリーの定数 - Wikipedia

アペリーの定数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

アペリーの定数(―のていすう, 英 Apéry's constant)とは、数学定数の一種である。これは、ゼータ関数を ζ とすると、ζ(3) で定義される。

ζ(3)
=1+\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} +\frac{1}{4^3} + \ldots
\approx 1.20205\; 69031\; 59594\; 28539\; 97381\; 61511\; 44999\; 07649\; 86292\,\ldots.

この値は無理数である（⇒アペリーの定理）。

「アペリーの定数」という名前は、1977年、ロジェ・アペリーがアペリーの定理を発表した際、彼自身によって命名された。

[編集] 公式

1772年、レオンハルト・オイラーによって、次のような表示が与えられた。

\zeta(3)=\frac{\pi^2}{7} \left[ 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {(2k+1)(2k+2) 2^{2k}} \right]

また、この他に、サイモン・プラウフによって与えられた収束の早い級数がある。

\zeta(3)=\frac{7}{180}\pi^3 -2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} -1)}
\zeta(3)= 14 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \sinh(\pi n)} -\frac{11}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} -1)} -\frac{7}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} +1)}


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