超幾何級数

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数学において、超幾何級数（ちょうきかきゅうすう、hypergeometric series）は、一般に

$_rF_s\left[\begin{matrix}a_1,a_2,\dots,a_r\\b_1,b_2,\dots,b_s\end{matrix};z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a_1)_n(a_2)_n\dots(a_r)_n}{(b_1)_n(b_2)_n\dots(b_s)_n\;n!}z^n$

の形式で表される級数である^[1]。但し、

$\begin{align} &(x)_0=1\\ &(x)_n=\prod_{k=0}^{n-1}(x+k)\\ \end{align}$

はポッホハマー記号である。古典的にはガウスの超幾何関数

$F(a,b,c;z)={_2F_1}\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n\;n!}z^n$

を単に超幾何級数という。なお、厳密にいうと、右辺の級数が超幾何級数であり、左辺の記号は級数の和によって定義される超幾何関数を表すものである。

[編集] 収束条件

超幾何級数 $_rF_s[a_1,\dots,a_r;b_1,\dots,b_s;z]$ は、 $r < s + 1$ であれば絶対収束し、 $r > s + 1$ であれば発散する。 $r = s + 1$ の場合は、 $| z | < 1$ であれば絶対収束し、 $| z | > 1$ であれば発散する。 $| z | = 1$ の場合は、 $\sum\real{a_j}<\sum\real{b_j}$ であれば絶対収束し、 $\sum\real{a_j}>\sum\real{b_j}$ であれば発散する。但し、 $a j$ 又は $b j$ が正でない整数 $k\in\mathbb{Z}\setminus\mathbb{N}$ である場合は、 $(a_j)_{n{\ge}k}=0$ となって ${z}<\infty$ で収束、或いは $(b_j)_{n{\ge}k}=0$ となって $z\ne0$ で発散する場合がある。

[編集] 収束条件の証明

第 $n$ 項を $c n$ として

$\begin{align} &_rF_{r-1}\left[\begin{matrix}a_1,a_2,\dots,a_r\\b_1,b_2,\dots,b_{r-1}\end{matrix};z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n\\ &c_n=\frac{(a_1)_n(a_2)_n\dots(a_{r-1})_n(a_r)_n}{(b_1)_n(b_2)_n\dots(b_{r-1})_n\;n!} \end{align}$

項比は

$\lim_{n\to\infty}\frac{c_{n+1}}{c_{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{(a_1+n)(a_2+n)\dots(a_{r-1}+n)(a_r+n)}{(b_1+n)(b_2+n)\dots(b_{r-1}+n)(1+n)}z=z$

であるから、 $| z | < 1$ であれば絶対収束し、 $| z | > 1$ であれば発散する。 $| z | = 1$ の場合は、

$\begin{align} &\frac{a+n}{n}=1+\frac{a}{n}+O\left(n^{-2}\right)\qquad(n{\gg}a)\\ &\frac{n}{b+n}=1-\frac{b}{n}+O\left(n^{-2}\right)\qquad(n{\gg}a)\\ \end{align}$

であるから、

$\begin{align} &\begin{align}\frac{c_{n+1}}{c_{n}} &=\prod_{j=1}^{r}\left(1+\frac{a_j}{n}\right)\cdot\prod_{j=1}^{r-1}\left(1-\frac{b_j}{n}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)+O\left(n^{-2}\right)\\ &=1+\sum_{j=1}^{r}\frac{a_j}{n}-\sum_{j=1}^{r-1}\frac{b_j}{n}-\frac{1}{n}+O\left(n^{-2}\right)\qquad(n{\gg}a_j,b_k)\\ \end{align}\\ &\begin{align}\left|\frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right|^2 &=\left(1+\sum_{j=1}^{r}\frac{\real{a_j}}{n}-\sum_{j=1}^{r-1}\frac{\real{b_j}}{n}-\frac{1}{n}\right)^2+\left(\sum_{j-1}^{r}\frac{\image{a_j}}{n}-\sum_{j=1}^{r-1}\frac{\image{b_j}}{n}\right)^2+O\left(n^{-2}\right)\\ &=1+\frac{2}{n}\left(\sum_{j=1}^{r}\real{a_j}-\sum_{j=1}^{r-1}\real{b_j}-1\right)+O\left(n^{-2}\right)\qquad(n{\gg}a_j,b_k)\\ \end{align}\\ &\begin{align}&\left|\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right| &=1-\frac{1}{n}\left(\sum_{j=1}^{r}\real{a_j}-\sum_{j=1}^{r-1}\real{b_j}-1\right)+O\left(n^{-2}\right)\qquad(n{\gg}a_j,b_k)\\ \end{align}\\ \end{align}$

であり、

$\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{|c_{n}|}{|c_{n+1}|}-1\right)-1=-\left(\sum_{j=1}^{r}\real{a_j}-\sum_{j=1}^{r-1}\real{b_j}\right)$

である。従って、ラーペの判定法により、 $\sum\real{a_j}-\sum\real{b_j}<0$ であれば絶対収束し、 $\sum\real{a_j}-\sum\real{b_j}>0$ であれば発散する。

[編集] 超幾何関数

超幾何級数で定義される、或いは表示される関数を超幾何関数という。超幾何関数は多くの初等関数を包含する。

$\begin{align} &(1-z)^{-a}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-a)(-a-1)\cdots(-a-n+1)}{n!}(-z)^n={_1F_0}\left[\begin{matrix}a\\-\end{matrix};z\right]\\ &e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^n={_0F_0}\left[\begin{matrix}-\\-\end{matrix};z\right]\\ &{\sin}z=z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n}=z\cdot{_0F_1}\left[\begin{matrix}-\\\frac{3}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\ &{\cos}z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}={_0F_1}\left[\begin{matrix}-\\\frac{1}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\ &{\log}(1+z)=z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}z^{n}=z\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}1,1\\2\end{matrix};-z\right]\\ &{\log}\left(\frac{1+z}{1-z}\right)=2z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n+1}z^{2n}=2z\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2},1\\\frac{3}{2}\end{matrix};z^2\right]\\ &{\sin}^{-1}z=z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}z^{2n}=z\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2},\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix};z^2\right]\\ &{\tan}^{-1}z=z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}z^{2n}=z\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2},1\\\frac{3}{2}\end{matrix};-z^2\right]\\ \end{align}$

完全楕円積分

$\begin{align} &K(k)=\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2k^{2n}}=\frac{\pi}{2}\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2},\frac{1}{2}\\1\end{matrix};k^2\right]\\ &E(k)=\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\frac{k^{2n}}{1-2n}}=\frac{\pi}{2}\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\\1\end{matrix};k^2\right]\\ \end{align}$

正弦積分、余弦積分、指数積分

$\begin{align} &\operatorname{Si}(z)=x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)(2n+1)!}z^{2n}=x\cdot{_1F_2}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{3}{2},\frac{3}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\ &\operatorname{Ci}(z)=\gamma+\log{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)(2n)!}z^{2n}=\gamma+\log{z}-\frac{z^2}{4}\cdot{_2F_3}\left[\begin{matrix}1,1\\2,2,\frac{3}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\ &\operatorname{Ei}(z)=\gamma+\log{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{nn!}z^{n}=\gamma+\log{z}+z\cdot{_2F_2}\left[\begin{matrix}1,1\\2,2\end{matrix};z\right]\\ \end{align}$

[編集] オイラー積分表示

ガウスの超幾何関数はオイラー積分で表される。

$F(a,b,c;z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-tz)^{-b}dt\qquad(0<\real{a}<\real{c},|z|<1)$

これは

$\begin{align}F(a,b,c;z) &=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\cdot\frac{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}{\Gamma(c)}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n\;n!}z^n\\ &=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\Gamma(a+n)\Gamma(c-a)(b)_n}{\Gamma(c+n)\;n!}z^n\\ &=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\sum_{n=0}^{\infty}\Beta(a+n,c-a)\frac{(b)_n}{n!}z^n\\ &=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\int_{0}^{1}t^{a+n-1}(1-t)^{c-a-1}dt\right)\frac{(b)_n}{n!}z^n\\ &=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(b)_n}{n!}(tz)^n\right)dt\\ &=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-tz)^{-b}dt\\ \end{align}$

として導かれる。

[編集] 超幾何定理

ガウスの超幾何関数のオイラー積分表示に $z = 1$ を代入するとガウスの超幾何定理を得る^[2]。

$\begin{align}F(a,b,c;1) &=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{\infty}t^{a-1}(1-t)^{c-a-b-1}dt\\ &=\frac{\Gamma(c)\Beta(a,c-a-b)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\\ &=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\qquad(\real{a}+\real{b}<\real{c},c\not\in\mathbb{Z}\setminus\mathbb{N})\\ \end{align}$