指数積分

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数学において、指数積分(exponential integral)は指数関数を含む積分によって定義される関数である。

$\mathrm{Ei}(x)=-{-\!\!\!\!\!\!\int_{-x}^{\infty}}\frac{e^{-t}}{t}dt={-\!\!\!\!\!\!\int_{-\infty}^{x}}\frac{e^{t}}{t}dt$

である。この積分は原点で周囲で発散するが、実関数としての指数積分はコーシーの主値を用いる。

$\begin{align} &\mathrm{Ei}(x)=\lim_{\epsilon\to+0}-\int_{-x}^{-\epsilon}\frac{e^{-t}}{t}dt-\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}dt\qquad(x>0)\\ &\mathrm{Ei}(x)=-\int_{-x}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}dt\qquad(x<0)\\ \end{align}$

複素関数としての指数積分は、正の実軸から解析接続する値を用いる場合^[1]と負の実軸から解析接続する値を用いる場合^[2]とがあるが、本稿においては正の実軸から解析接続する値を用いる。この場合、複素積分としては

$\mathrm{Ei}(z)=-\int_{-z}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}dt\pm\pi{i}$

となる。複素関数としての指数積分は多価であるが、

$\mathrm{Ei}(z)=\gamma+\log{z}-\int_{0}^{-z}\frac{1-e^{-t}}{t}dt$

とすれば、多価性にまつわる問題が全て $log z$ に封じられる。これとは別に

$E_n(z)=\int_{1}^{\infty}\frac{e^{-xt}}{t^n}dt$

を $n$ 次の指数積分と呼び、

$E_1(z)=\int_{1}^{\infty}\frac{e^{-zt}}{t}dt=\int_{z}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}dt=-\mathrm{Ei}(-z)\pm\pi{i}$

を $Ei(z)$ と記すこともある。

[編集] 級数展開

$Ei(z)$ は $z = 0$ に真性特異点を持つ。しかし、

$\begin{align}\frac{d}{dz}\left(\mathrm{Ei}(z)-\log{z}\right) &=\frac{e^z}{z}-\frac{1}{z}\\ \end{align}$

であるから

$\begin{align}\mathrm{Ei}(z)-\log{z} &=C+\int_{0}^{z}\frac{e^t-1}{t}dt\\ &=C+\int_{0}^{z}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{t^{k-1}}{k!}dt\\ &=C+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k\;k!}\\ \end{align}$

である。定義により $\mathrm{Ei}(-\infty)=\pm\pi{i}$ であるから、積分定数の値は

$\begin{align}C &=\lim_{z\to\infty}\mathrm{Ei}(-z)-\log{(-z)}-\int_{0}^{-z}\frac{e^t-1}{t}dt\\ &=\lim_{z\to-\infty}-\log{z}+\int_{0}^{z}\frac{1-e^{-t}}{t}dt\\ &=\lim_{z\to-\infty}\log\frac{z+1}{z}+\int_{0}^{z}\left(\frac{1-e^{-t}}{t}-\frac{1}{t+1}\right)dt\\ &=\int_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{t(t+1)}-\frac{e^{-t}}{t}\right)dt\\ &=\gamma \end{align}$

であり、従って、

$\mathrm{Ei}(z)=\gamma+\log{z}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k\;k!}$

となる。但し、 $γ$ はオイラーの定数である。

[編集] 三角積分

正弦積分(sine integral)は正弦関数を含む積分によって定義される関数である。

$\begin{align} &\mathrm{Si}(z)=\int_{0}^{z}\frac{\sin{t}}{t}dt\\ &\mathrm{si}(z)=\int_{z}^{\infty}\frac{\sin{t}}{t}dt=\mathrm{Si}(z)-\frac{\pi}{2}\\ \end{align}$

余弦積分(cosine integral)は余弦関数を含む積分によって定義される関数である。

$\mathrm{Ci}(z)=-\int_{z}^{\infty}\frac{\cos{t}}{t}dt$

複素関数としての余弦積分は多価であるが、

$\mathrm{Ci}(z)=\gamma+\log{z}-\int_{0}^{z}\frac{1-\cos{t}}{t}dt$

とすれば、多価性にまつわる問題が全て $log z$ に封じられる。

[編集] 対数積分

対数積分(logarithmic integal)は対数関数の逆数の積分によって定義される関数である。

$\begin{align} &\mathrm{li}(z)=\mathrm{Ei}(\log{z})=\pm{\pi}i+\int_{0}^{z}\frac{1}{\log{t}}dt\\ &\mathrm{Li}(z)=\mathrm{Ei}(\log{z})-\mathrm{Ei}(\log{2})=\int_{2}^{z}\frac{1}{\log{t}}dt\\ \end{align}$

実関数としての対数積分はコーシーの主値を用いる。

$\begin{align} &\mathrm{li}(x)=\lim_{\epsilon\to+0}\int_{0}^{1-\epsilon}\frac{1}{\log{t}}dt+\int_{1+\epsilon}^{x}\frac{1}{\log{t}}dt\qquad(x>1)\\ \end{align}$