窓関数

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窓関数（まどかんすう、英：window function）とは、ある有限区間以外で0となる関数である。ある関数や信号（データ）に窓関数が掛け合わせられると、区間外は0になり、有限区間内だけが残るので、数値解析が容易になる。窓関数は、スペクトル分析、フィルタ・デザインや、音声圧縮に応用される。窓関数を単に窓 (window) ともいい、データに窓関数を掛け合わせることを窓を掛ける (windowing) という。

[編集] 窓関数の意味

フーリエ変換は、区分的に $C^1 \,$ 級な任意の関数 $f(x) \,$ を、三角関数（あるいは指数関数）の線形結合で表す。なお、 $f \,$ のフーリエ変換を $\mathfrak{F} f$ で表す。

フーリエ変換では、関数 $f(x) \,$ も三角関数も、無限区間 $(-\infty,\infty)$ で定義されている。しかし、実データを数値的にフーリエ変換するなら、無限の長さは扱えないので、有限区間 $[a,b] \,$ でフーリエ変換をおこない、区間外は無視することになる。これは、関数 $f(x) \,$ を区間外で0とみなすことに等しい（「区間内のデータを周期的に繰り返す」という表現をすることもあるが、DFT（離散フーリエ変換）のばあいはこの2つは等価である）。

つまり、関数 $f(x) \,$ と関数

$w(x) = \begin{cases} 1, & \mbox{if } a \leq x \leq b \\ 0, & \mbox{otherwise} \end{cases}$

の積 $(wf)(x) = w(x)f(x) \,$ を求め、そのフーリエ変換 $\mathfrak{F} (wf)$ を、 $\mathfrak{F} f$ の代わりに得ていることになる。このとき掛け合わせた関数 $w(x) \,$ が窓関数である。

ここで定義した窓関数 $w(x) \,$ （矩形窓という）でなくても、有限区間外が0で区間内が有界な関数ならば、窓関数として使える。そこで、さまざまな窓関数が考案されている。実際、上の矩形窓はあまり性能がよくない。それは、 $x = a, b \,$ にいちじるしい不連続があるからである。実際に使われる窓関数のほとんどは、両端が滑らかに小さくなり区間外の0につながる、山形の関数である。

[編集] 窓関数の性能

矩形窓のパワー・スペクトル

窓関数を使って求めたスペクトル $\mathfrak{F} (wf)$ と、本来のスペクトル $\mathfrak{F} f$ は、もちろん同じではない。積のフーリエ変換はフーリエ変換の畳み込み、つまり、

$\mathfrak{F} (wf) = \mathfrak{F} w * \mathfrak{F} f$

である。余分な $\mathfrak{F} w$ が畳み込まれることによって、フーリエ変換の結果は変化するが、この変化は望ましいものではない。

一般に $\mathfrak{F} w$ は、中心が絶対値が大きく、両側に離れるにつれ小さくなるが、0になることはない（ $w(x) \,$ が有限区間外で0ならば、常にそうなる）。ただし、単峰性ではなく、図のように、無数の峰を持つ。各々の峰をローブといい、中央のいちばん大きいローブをメインローブ、他をサイドローブという。このような $\mathfrak{F} w$ が畳み込まれることにより、スペクトルは、ピークがなまり（周波数分解能が下がり）、ノイズ・フロアが上がる（ダイナミック・レンジが狭まる）ことになる。

窓関数には、

メインローブが狭い（周波数分解能が良い）
サイドローブが低い（ダイナミックレンジが広い）

という2つの特長が要求される。しかし、この2つはトレード・オフの関係にあり、両立させるには限界がある。そのため、ある状況では最適だった窓関数が、別の状況ではそうではないということも起こる。

[編集] 窓関数の応用

フーリエ変換に限らず、DCT（離散コサイン変換）や連続ウェーブレット変換でも、窓関数を使う。

とりわけ、近年、音声圧縮などに使われるMDCT（修正離散コサイン変換）のための窓関数は、プリンセン‐ブラッドリー条件 (Princen-Bradley condition) という、他の用途では要求されない性質が必要なこともあり、独特なものが新しく登場している。なお、プリンセン‐ブラッドリー条件を満たす窓関数を、MDCT窓、プリンセン‐ブラッドリー窓などという。

スペクトル分析に限らず、無限系列を有限系列に断ち切らなければならない状況では、窓関数が使われる。たとえば、IIR（無限インパルス応答フィルタ）をFIR（有限インパルス応答フィルタ）で実現するときなどである。

変わった応用では、窓関数を掛けるのではなく、畳み込むという手法がある。 $\mathfrak{F} (w * f) = \mathfrak{F} w \mathfrak{F} f$ （畳み込みのフーリエ変換はフーリエ変換の積）なので、窓関数がデジタル・フィルタとして働くことになる。

[編集] 窓関数の例

特に断らない限り、区間を $[0,1] \,$ にとり、 $\max_{x} w(x) = 1 \,$ と正規化した式を書く。区間を $[-1,1] \,$ にとる資料もある。 $w(x) = 0 \,$ となる場合分けは省略した。 $w(x) = 0, \mbox{ otherwise} \,$ を適宜おぎなって読んでほしい。

離散化するには、 $k = 0, \ldots , N - 1$ に対して、 $x = k / (N - 1) \,$ と、 $x = (k + 0.5) / N \,$ の2種類の方法があるが、特殊な用途を除き、どちらでも大差はない。また、初めから $k \,$ に対する関数 $w(k) \,$ や系列 $w_k \,$ を表す資料もあるので、注意してほしい。

グラフは、 $x = k / (N - 1) \,$ と離散化したときの、窓関数自身と、DFTで求めたパワースペクトルである。

[編集] 代表的な窓関数

[編集] 矩形窓

矩形窓

rectangular window。方形窓とも。

単に有限長のデータを用意しただけのとき、暗黙のうちにこの窓関数を使っている。理論上、周波数分解能は最も良い。

$w(x) = 1, \ \mbox{if } 0 \leq x \leq 1$

[編集] ガウス窓

ガウス窓

Gauss window。ガウシアン窓 (Gaussian window) とも。

理論上、最も高性能な窓関数だが、コンパクト・サポートでない（有界区間の両端で0にならない）ので、実際には使えない。使うときは、適当な区間の外を0にする必要がある。主に、ガボール変換 (Gabor transform)や連続ウェーブレット変換で使われる。

$w(x) = \exp \left( -\frac{x^2}{\sigma^2} \right)$

[編集] ハン窓

ハン窓

hann window（hannは人名由来だが、慣習的に小文字で書く）。フォンハン窓 (von Hann window)、2乗余弦窓、raised cosine windowとも。ユリウス・フォン・ハンが考案した。ハミング窓との連想から「ハニング窓」と呼ばれる例がある。

最もよく使われる窓関数の一つ。

$w(x) = 0.5 - 0.5 \cos 2 \pi x, \ \mbox{if } 0 \leq x \leq 1$

[編集] ハミング窓

ハミング窓

hamming window（hammingは人名だが、慣習的に小文字で書く）。ハン窓の改良版として、リチャード・ハミングが考案した。

ハン窓と並び、最もよく使われる窓関数の一つ。ハン窓より周波数分解能が良く、ダイナミック・レンジが狭い。区間の両端で不連続なのが特徴。

$w(x) = 0.54 - 0.46 \cos 2 \pi x, \ \mbox{if } 0 \leq x \leq 1$

[編集] ブラックマン窓

ブラックマン窓

Blackman window。ラルフ・ブラックマンが考案した。

ハン窓/ハミング窓より、周波数分解能が悪く、ダイナミック・レンジが広い。この種のフィルタの中では、最もよく使われる。

$w(x) = 0.42 - 0.5 \cos 2 \pi x + 0.08 \cos 4 \pi x, \ \mbox{if } 0 \leq x \leq 1$

[編集] カイザー窓

カイザー窓、 $\alpha = 2 \,$

カイザー窓、 $\alpha = 3 \,$

Kaiser window。カイザー‐ベッセル窓 (Kaiser‐Bessel window) ともいうが、後述のカイザー‐ベッセル派生窓と紛らわしい。J・F・カイザーが考案した。

実数パラメタ $\alpha \geq 0 \,$ を持つ（ $\beta = \pi \alpha \,$ をパラメタとすることもある）。 $\alpha \,$ が大きいほど、ダイナミックレンジは広く、周波数分解能は悪くなる。2つの性能を連続的にトレード・オフできるのが特長である。周波数分解能はおおよそ $\sqrt \alpha$ に反比例する。