真理関数

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真理関数（しんりかんすう、Truth Function）とは、数理論理学における真理値から真理値への関数である。真理関数の定義域と値域は {真、偽}であるが、一般に（無限個を含む）任意個の変数をとる。

ある文が真理関数的であるという場合、その文の各部分の真理値の関数で文全体の真理値が得られる。文のクラスが真理関数的であるという場合、そのクラスの全メンバーが真理関数的である。例えば、「リンゴはくだもので、ニンジンは野菜である」という文は、その文を構成する部分「リンゴはくだものである」と「ニンジンは野菜である」が共に真であるとき真となり、そうでなければ文全体も偽となる。そのため、この文は真理関数的であると言える。日本語のような自然言語の文が全て真理関数的というわけではない。

「Xは…と信じている」という文は真理関数的でない文の典型例である。例えば、浜崎あゆみが2006年12月現在の日本の総理大臣が小沢一郎であると（間違って）信じていて、同時に彼女は月がチーズでできているとは信じていないとする。この場合、次の文

「浜崎あゆみは2006年12月現在の日本の総理大臣は小沢一郎であると信じている」

は真であるが、次の文

「浜崎あゆみは月がチーズでできていると信じている」

は偽である。それぞれの文の部分（「2006年12月現在の日本の総理大臣は小沢一郎である」と「月がチーズでできている」）は偽であるが、それに「浜崎あゆみは…と信じている」と付加することで真理値が変わってしまう。従って「浜崎あゆみは…と信じている」という文型は、部分の真理値の関数ではないため、真理関数的ではない。

古典論理学では、その（文を含む）論理式を構成する命題連結記号（&、→ など）が真理関数的であるため、論理式全体も真理関数的である。引数の真理値と真理関数の真理値の対応は真理値表で与えられる。