ローレンツ力

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ローレンツ力 (Lorentz force)は、電磁場中で運動する荷電粒子が受ける力のことである。この力は

$\boldsymbol{\mathit{F}} = q(\boldsymbol{\mathit{E}}+\boldsymbol{\mathit{v}}\times\boldsymbol{\mathit{B}})$ 　

と表される。F は荷電粒子が受ける力（これをローレンツ力と言う）、E とB は荷電粒子が存在する位置における電場と磁束密度（つまり磁場）である。q は荷電粒子の持つ電荷。v は荷電粒子の速度である。× は外積である。

上式で右辺第一項は電場中で荷電粒子が受ける力であり、第二項はビオ＝サバールの法則を一般化した形となっている。ここで荷電粒子が加速度運動している（ローレンツ力によっても加速度運動となっている）とすると、その荷電粒子自身による電磁場の効果が存在するが、その影響はごく小さい場合が多いので通常は無視されるか、ごく小さなものとして扱われる。

[編集] ローレンツ力と仕事

ローレンツ力のする仕事は

$dW = \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r}$

$= q(\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})\cdot d\boldsymbol{r}$

ここで、磁場による力の項は、

$dW_m = q (\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})\cdot d\boldsymbol{r}$

$= q \boldsymbol{v} \cdot (\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})dt = 0$

であり、磁場は仕事をしない。ここで v = dr/dt を用いた。

電場による力の項は、

$dW_e = q (\boldsymbol{E})\cdot d\boldsymbol{r}$

$= q \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{E} dt = w dt$

である。この電場による仕事量は、巨視的に見るとジュール熱に相当する。

磁場による力は速度と直交する方向に生じるので、運動の向きを変えるだけで粒子の運動エネルギーは変化しない。エネルギーの移動は電場により生じている。

[編集] ローレンツ力と電磁力

電荷 q_i の時刻 t における位置を x_i、速度を v_iとすると、電荷密度 ρ 、電流密度 j は、

$\rho(\boldsymbol{x},t) = \sum_i q_i \delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}_i)$

$\boldsymbol{j}(\boldsymbol{x},t) = \sum_i q_i \boldsymbol{v}_i \delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}_i)$

と表すことができる。δ(x)はディラックのデルタ関数である。

ローレンツ力は多数の粒子系に対しては

$\boldsymbol{F} = \sum_i q_i(\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}_i,t) + \boldsymbol{v}_i \times \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x}_i,t))$

となる。ここで、

$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}_i,t) = \int \!\! d^3x \delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}_i) \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)$

$\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x}_i,t) = \int \!\! d^3x \delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}_i) \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)$

として、和と積分を入れ替えると、

$\boldsymbol{F} = \int \!\! d^3x (\rho(\boldsymbol{x},t) \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t) + \boldsymbol{j}(\boldsymbol{x},t) \times \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t))$