ブール関数

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ブール関数（Boolean Function）とは、数学において、非負整数 k 個のブール領域の引数からブール領域の値を得る関数 f : B^k → B を指す。k = 0 であるような場合、この関数は単に定数要素 B を表す。

さらに一般化すると、f : X → B という形式の関数において、X が任意の集合である場合を「ブール値関数」と呼ぶ。X = M = {1, 2, 3, …} であるとき、f は無限の「二値数列; binary sequence」すなわち 0 と 1 の無限列である。X = [k] = {1, 2, 3, …, k} であるとき、f は長さ k の二値数列である。そのような関数は $2^{2^k}$ 個存在する。これは計算複雑性理論における問題で基本的な役割を果たす他、デジタルコンピュータの論理回路の設計でも利用される。ブール関数の特徴は暗号理論においても重要であり、特に共通鍵暗号の設計で重要である。

[編集] リード-マラー標準形

ブール関数は積（AND）の総和（XOR）で一意に記述できる。これをリード-マラー標準形と呼ぶ。

$f(x_1, x_2, \ldots , x_n) = \!$	$a_0 + \!$
	$a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_nx_n + \!$
	$a_{1,2}x_1x_2 + a_{n-1,n}x_{n-1}x_n + \!$
	$\ldots + \!$
	$a_{1,2,\ldots,n}x_1x_2\ldots x_n \!$

ここで $a_0, a_1, \ldots, a_{1,2,\ldots,n} \in \{0,1\}^*$ である。

従って、列 $a_0,a_1,\ldots,a_{1,2,\ldots,n}$ の値の列もブール関数を一意に表している。ブール関数の代数的次数は、1つの（AND）項に現われる $x i$ の個数で表される。つまり、 $f (x 1, x 2, x 3) = x 1 + x 3$ の次数は 1（線形）であり、 $f (x 1, x 2, x 3) = x 1 + x 1 x 2 x 3$ の次数は 3（立方）である。