ニュートン・コーツの公式

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数値解析におけるニュートン・コーツの公式(-のこうしき、Newton-Cotes formulas; Newton-Cotes rules)とは、区分求積法に関する公式の総称である。名前は、アイザック・ニュートンとロジャー・コーツにちなんだものである。

関数 f の値が等間隔の点 x_i(i = 0, ..., n) に関して既知であると仮定する（そうでない場合に関しては、別の公式、ガウス求積が用いられる）。ニュートン・コーツの公式は、2 つ存在する。全ての点を使いうる「閉じた」場合と、端点を用いない「開いた」場合である。n 次の閉じたニュートン・コーツの公式は、次のようになる。

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \sum_{i=0}^n w_i\, f(x_i)$

ただし、x_i = h i + x₀ で、h （ステップ長）は (x_n - x₀)/n に等しい。 $w i$ は重みと呼ばれる。

以下の導出からもわかるように、重みはラグランジュ補間から導かれる。これは、ニュートン・コーツの公式のとる値が、関数 f 全体ではなく x_i のみで決まることを意味する。L(x) は与えられたデータ点 (x₀, f(x₀) ),..,(x_n, f(x_n) ) に関するラグランジュ補間による補間多項式である。

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b L(x)\,dx = \int_a^b \sum_{i=0}^n f(x_i)\, l_i(x)\, dx$

$=\sum_{i=0}^n \int_a^b f(x_i)\, l_i(x)\, dx = \sum_{i=0}^n f(x_i) \underbrace{\int_a^b l_i(x)\, dx}_{w_i}$

n 次の開いたニュートン・コーツの公式は、次のようになる。

$\int_a^b f(x)\, dx \approx \sum_{i=1}^{n-1} w_i\, f(x_i)$

重みは、閉じた場合のそれと同様である。

ニュートン・コーツの公式は、いかなる次数に関しても構成することができる。低次の公式には、既に有名なものもある。下表は、閉じたニュートン・コーツの公式の一覧である。ここで、f_i という表記は、f(x₀) を略記したものとする。

次数	名前	式	誤差項
1	台形公式	$\frac{h}{2} (f_0 + f_1)$	$-\frac{h^3}{12}\,f^{(2)}(\xi)$
2	シンプソンの公式	$\frac{h}{3} (f_0 + 4 f_1 + f_2)$	$-\frac{h^5}{90}\,f^{(4)}(\xi)$
3	3/8 公式	$\frac{3\, h}{8} (f_0 + 3 f_1 + 3 f_2 + f_3)$	$-\frac{3\, h^5}{80}\,f^{(4)}(\xi)$
4	ブールの公式	$\frac{2\, h}{45} (7 f_0 + 32 f_1 + 12 f_2 + 32 f_3 + 7 f_4)$	$-\frac{8\, h^7}{945}\,f^{(6)}(\xi)$

誤差項において、ステップ長 h の次数は、近似による誤差の程度を表している。また、f の導関数は、厳密に積分できる（即ち、誤差が 0 になる）多項式を表している。なお、f の導関数の階数は、他の公式に対して 2 ずつ増加する。ξ は a と b の数である。

下表は、開いたニュートン・コーツの公式の一覧である。

次数	名前	式	誤差項
0	矩形公式	$2 h f 1$	$\frac{h^3}{24}\,f^{(2)}(\xi)$
1		$\frac{3\, h}{2} (f_1 + f_2)$	$\frac{h^3}{4}\,f^{(2)}(\xi)$
2		$\frac{4 \,h}{3} (2 f_1 - f_2 + 2 f_3)$	$\frac{28\, h^5}{90}\,f^{(4)}(\xi)$
3		$\frac{5 \,h}{24} (11 f_1 + f_2 + f_3 + 11 f_4)$	$\frac{95\, h^5}{144}\,f^{(4)}(\xi)$

ニュートン・コーツの公式の精密性を意識した場合、ステップ長 h は小さくある必要がある。つまり、積分区間 [a, b] 自身が小さくある必要があるが、これはどのような場合でも成り立つとは限らない。従って、通常は、[a, b] を小さな部分区間に分割し、各部分区間にニュートン・コーツの公式を適用し、その結果を足し合わせるという数値積分の方法が取られる。これは、合成積分公式と呼ばれる。

[編集] 参考文献

M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Section 25.4.)
George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Section 5.1.)
William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 4.1.)
Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (See Section 3.1.)