チェビシェフ方程式

チェビシェフ方程式（-ほうていしき）は、以下のように表される2階線形常微分方程式である。

$(1-x^2) {d^2 y \over d x^2} - x {d y \over d x} + p^2 y = 0$

ここでpは実定数である。方程式の名称は、ロシアの数学者パフヌティ・チェビシェフにちなむ。

$y = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$

とすると、各係数は以下のような漸化式を満たす。

$a_{n+2} = {(n-p) (n+p) \over (n+1) (n+2) } a_n.$

上述の級数は漸化式に対してダランベールの収束判定法を用いることにより、x &isnin; [-1, 1] において収束することが示される。

漸化式は適当な $a 0$ および $a 1$ を初期値とすることができるので、2階微分方程式に対して解の2次元空間が導かれることになる。

$a 0 = 1, a 1 = 0$ のとき、解は以下のように与えられる。

$F(x) = 1 - \frac{p^2}{2!}x^2 + \frac{(p-2)p^2(p+2)}{4!}x^4 - \frac{(p-4)(p-2)p^2(p+2)(p+4)}{6!}x^6 + \cdots$

また $a 0 = 0, a 1 = 1$ のときは以下のようになる。

$G(x) = x - \frac{(p-1)(p+1)}{3!}x^3 + \frac{(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)}{5!}x^5 - \cdots$

一般解はこの2つの関数の線形結合で与えられる。

pが整数であるとき、2つの関数のいずれか一方はたかだか有限個の項しか持たない。pが偶数ならFの、pが奇数ならGの項がたかだか有限個である。このとき、有限個の項からなる関数は（当然ながらいたるところ収束する）p次多項式となり、この多項式はチェビシェフ多項式に比例する。すなわち、

$T_p(x) = (-1)^{p/2}\ F(x)\,$ （pが偶数の場合）

$T_p(x) = (-1)^{(p-1)/2}\ p\ G(x)\,$ （pが奇数の場合）

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