Trasformazione galileiana

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Indice

1 Posizione relativa
2 Velocità
3 Accelerazione
4 Trasformazioni
5 Voci correlate

[modifica] Posizione relativa

Consideriamo due osservatori qualsiasi, $O 1$ e $O 2$ , che studiano il moto di un medesimo punto P. Essi determinano contemporaneamente la posizione di P e dell’altro osservatore, $P 1$ e $P 1 - 2$ per $O 1$ ; $P 2$ e $P 2 - 1$ per $O 2$ . Naturalmente $P 1 - 2 = - P 2 - 1$ .

La relazione fra le due misure sarà:

P 1 = P 2 + P 1 - 2

E quindi entrambi, utilizzando le proprie misure, sono in grado di calcolare che cosa ha misurato l’altro. Al limite, basta che uno dei due effettui le misure e le trasmetta all’altro per i suoi calcoli. Se gli osservatori determinano la posizione di P in tempi successivi allora sono in grado di determinare il vettore posizione di P in funzione del tempo, e quindi:

P 1 (t) = P 2 (t) + P 1 - 2 (t)

[modifica] Velocità

Gli osservatori possono pure calcolare la velocità e l’accelerazione di P mentre si sposta lungo la sua traiettoria. L’osservatore $O 1$ vede l’altro osservatore muoversi con velocità v, mentre $O 2$ vede $O 1$ muoversi con velocità -v. Entrambi determinano la posizione del punto P in tempi successivi t’ e t”.

Gli spostamenti misurati dai due osservatori nel medesimo intervallo di tempo sono diversi, quindi anche le velocità di P risultano diverse tuttavia i due osservatori possono convertire nel proprio sistema di riferimento le velocità misurate dall’altro osservatore, a patto di conoscere la velocità con la quale questo si muove.

In pratica si verifica la relazione:

v 1 (t) = v 2 (t) + v 1 - 2 (t)

Tutto questo funziona soltanto se è possibile effettuare misure contemporanee.

[modifica] Accelerazione

Se i due osservatori sono in moto rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro si avrà:

a 1 (t) = a 2 (t)

se, invece, si trovano in moto accelerato l’uno rispetto all’altro, le accelerazioni viste dai due sono allora diverse il che richiede una formula di conversione.

a 1 (t) = a 2 (t) + a 1 - 2 (t)

[modifica] Trasformazioni

Consideriamo i due osservatori in moto relativo rettilineo uniforme uno rispetto all'altro.

I due osservatori sono stati disposti sul piano in maniera del tutto arbitraria. Per estendere tale situazione allo spazio tridimensionale conviene allineare gli osservatori facendo coincidere i piani definiti dai loro assi x e y ed allineando gli assi x nella direzione del moto. Questo è possibile perché lo spazio euclideo è omogeneo e isotropo quindi consente traslazioni lungo i tre assi e rotazioni sui tre piani coordinati.

Si vede immediatamente che le trasformazioni per passare da un osservatore all’altro sono:

$x = x' + v_0t\,\!$

$y = y'\,\!$

$z = z'\,\!$

$t = t'\,\!$

dette trasformazioni galileiane. In pratica su una dimensione si aggiunge il moto uniforme. Per il secondo osservatore le trasformazioni diventano:

$x' = x - v_0t\,\!$

$y' = y\,\!$

$z' = z\,\!$

$t' = t\,\!$

Si possono scrivere anche come prodotto di una matrice per un vettore in quanto sistemi di equazioni lineari:

$\begin{bmatrix} t \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -v_0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix}$

Ciò conferma che le trasformazioni galileiane sono delle simmetrie di traslazione nello spazio.

[modifica] Voci correlate

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