Trasformata di Radon
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La trasformata di Radon è una trasformata integrale la cui inversa (detta antitrasformata di Radon) è utilizzata per ricostruire immagini bidimensionali a partire dai dati raccolti nel processo di diagnostica medica detto tomografia assiale computerizzata (TAC). L'antitrasformata di Radon è utilizzata anche in altre applicazioni pratiche: per esempio è stata impiegata per ricostruire in base a dati satellitari mappe delle regioni polari di un pianeta o posizione e rotta di navi.
La trasformata di Radon R della funzione f(x,y) è definita come:
![\mathcal{R}(m, q)[f(x,y)] = \int_{-\infty}^{\infty} f (x, m x + q) dx = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \delta[y - (m x + q)] dx dy = \mathcal{U}(m, q)](../../../../math/e/c/3/ec3c101f3a8ada6f66295a9c3254b578.png)
dove m è la pendenza (o coefficiente angolare) di una retta e q è la sua quota (o intercetta).
L'antitrasformata di Radon è:
![[f(x, y)] = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d}{dy} \mathcal{H}[\mathcal{U}(m, y - m x)] dm](../../../../math/9/9/5/99526f6e796ef00fcac8369fcd27b05f.png)
dove H è la trasformata di Hilbert.
Questa trasformata venne introdotta (per problemi in due e tre dimensioni) nel 1917 dal matematico Johann Radon, che pubblicò anche le formule per il calcolo dell'antitrasformata (problema della ricostruzione), ed è stata in seguito generalizzata al caso di problemi a più dimensioni, nel campo della geometria integrale.
[modifica] Algoritmo di retroproiezione filtrata
Conoscere la trasformata di Radon di un oggetto permette di ricostruirne la struttura: il "teorema della proiezione" infatti assicura che se abbiamo un numero infinito di proiezioni monodimensionali di un oggetto fatte da un numero infinito di angoli diversi (ossia: se conosciamo U(m, q) ), possiamo ricostruire perfettamente la geometria dell'oggetto originale (ossia: f(x, y) ) e il processo di ricostruzione consiste appunto nel calcolare l'antitrasformata di Radon.
Tuttavia l'antitrasformata di Radon è molto instabile se i dati misurati sono affetti da rumore sperimentale. Nella pratica si usa perciò una versione stabilizzata e discretizzata dell'antitrasformata di Radon, detta «algoritmo di retroproiezione filtrata». Un corollario al teorema della proiezione afferma infatti che «la trasformata di Radon della convoluzione bidimensionale di due funzioni è uguale alla convoluzione monodimensionale delle loro trasformate di Radon». Conseguenza pratica di ciò è che per eliminare il rumore che riduce la qualità della ricostruzione non è necessario eliminarlo fisicamente alla fonte, ma è possibile filtrare matematicamente i risultati sperimentali (ossia la misura della trasformata di Radon) e quindi operare la ricostruzione (ossia calcolare l'antitrasformata) direttamente sui dati filtrati a posteriori.
[modifica] Collegamenti consigliati
- (EN) "Radon Transform" di Eric W. Weisstein (da MathWorld)
- Ricostruzione di immagini tomografiche mediante la trasformata di Radon
- Algoritmo di individuazione di navi tramite trasformata di Radon (per individuazione di petroliere che scaricano illegalmente nel Mar Mediterraneo)
- [1] applett che calcola la trasformata di Radon e la antitrasformata
[modifica] Bibliografia
- Tesi di Laurea in Ingegneria Nucleare di R. Massari, A.A. 2000/2001 [2]
- Deans, Stanley R. (1983). The Radon Transform and Some of Its Applications. New York: John Wiley & Sons.
- Frank Natterer, The Mathematics of Computerized Tomography (Classics in Applied Mathematics, 32), Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 0898714931
- Frank Natterer and Frank Wubbeling, Mathematical Methods in Image Reconstruction, Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 0898714729
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