Trasformata di Radon

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La trasformata di Radon è una trasformata integrale la cui inversa (detta antitrasformata di Radon) è utilizzata per ricostruire immagini bidimensionali a partire dai dati raccolti nel processo di diagnostica medica detto tomografia assiale computerizzata (TAC). L'antitrasformata di Radon è utilizzata anche in altre applicazioni pratiche: per esempio è stata impiegata per ricostruire in base a dati satellitari mappe delle regioni polari di un pianeta o posizione e rotta di navi.

La trasformata di Radon R della funzione f(x,y) è definita come:

$\mathcal{R}(m, q)[f(x,y)] = \int_{-\infty}^{\infty} f (x, m x + q) dx = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \delta[y - (m x + q)] dx dy = \mathcal{U}(m, q)$

dove m è la pendenza (o coefficiente angolare) di una retta e q è la sua quota (o intercetta).

L'antitrasformata di Radon è:

$[f(x, y)] = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d}{dy} \mathcal{H}[\mathcal{U}(m, y - m x)] dm$

dove H è la trasformata di Hilbert.

Questa trasformata venne introdotta (per problemi in due e tre dimensioni) nel 1917 dal matematico Johann Radon, che pubblicò anche le formule per il calcolo dell'antitrasformata (problema della ricostruzione), ed è stata in seguito generalizzata al caso di problemi a più dimensioni, nel campo della geometria integrale.

[modifica] Algoritmo di retroproiezione filtrata

Conoscere la trasformata di Radon di un oggetto permette di ricostruirne la struttura: il "teorema della proiezione" infatti assicura che se abbiamo un numero infinito di proiezioni monodimensionali di un oggetto fatte da un numero infinito di angoli diversi (ossia: se conosciamo U(m, q) ), possiamo ricostruire perfettamente la geometria dell'oggetto originale (ossia: f(x, y) ) e il processo di ricostruzione consiste appunto nel calcolare l'antitrasformata di Radon.

Tuttavia l'antitrasformata di Radon è molto instabile se i dati misurati sono affetti da rumore sperimentale. Nella pratica si usa perciò una versione stabilizzata e discretizzata dell'antitrasformata di Radon, detta «algoritmo di retroproiezione filtrata». Un corollario al teorema della proiezione afferma infatti che «la trasformata di Radon della convoluzione bidimensionale di due funzioni è uguale alla convoluzione monodimensionale delle loro trasformate di Radon». Conseguenza pratica di ciò è che per eliminare il rumore che riduce la qualità della ricostruzione non è necessario eliminarlo fisicamente alla fonte, ma è possibile filtrare matematicamente i risultati sperimentali (ossia la misura della trasformata di Radon) e quindi operare la ricostruzione (ossia calcolare l'antitrasformata) direttamente sui dati filtrati a posteriori.

[modifica] Collegamenti consigliati

(EN) "Radon Transform" di Eric W. Weisstein (da MathWorld)
Ricostruzione di immagini tomografiche mediante la trasformata di Radon
Algoritmo di individuazione di navi tramite trasformata di Radon (per individuazione di petroliere che scaricano illegalmente nel Mar Mediterraneo)
[1] applett che calcola la trasformata di Radon e la antitrasformata

[modifica] Bibliografia

Tesi di Laurea in Ingegneria Nucleare di R. Massari, A.A. 2000/2001 [2]
Deans, Stanley R. (1983). The Radon Transform and Some of Its Applications. New York: John Wiley & Sons.
Frank Natterer, The Mathematics of Computerized Tomography (Classics in Applied Mathematics, 32), Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 0898714931
Frank Natterer and Frank Wubbeling, Mathematical Methods in Image Reconstruction, Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 0898714729