Teorema di limitatezza

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Il teorema di limitatezza è un teorema di analisi matematica che assume forme diverse a seconda del contesto, e afferma che un oggetto che ha un limite è necessariamente limitato. Si applica generalmente a successioni e funzioni.

Indice

1 Successioni
- 1.1 Enunciato
- 1.2 Dimostrazione
2 Funzioni
- 2.1 Enunciato

[modifica] Successioni

[modifica] Enunciato

Il teorema di limtatezza per successioni afferma che

Una successione ${a n}$ convergente ad un limite finito $a$ è limitata, esiste cioè un numero $K$ tale che $| a n | < K$ per ogni $n$ .

[modifica] Dimostrazione

Dalla definizione di limite, prendendo $ε = 1$ , si deduce che esiste un $N$ tale che $a n$ è nell'intervallo limitato $[a - 1, a + 1]$ per ogni $n > N$ : quindi la sottosuccessione formata da tutti i termini ${a n}$ con $n > N$ è limitata.

La successione completa ${a n}$ è ottenuta da questa aggiungendo un numero finito di termini $a_1,\ldots, a_N$ , e quindi è anch'essa limitata. Concretamente, $K$ si ottiene come

$K = \max\{|a_1|,\ldots,|a_N|,|a-1|,|a+1|\}.$

[modifica] Funzioni

[modifica] Enunciato

Il teorema di limitatezza per funzioni, solitamente chiamato teorema di limitatezza locale, afferma che

Sia $f:X\to\R$ una funzione definita su un aperto $X$ dei numeri reali che ha un limite finito in un punto $x 0$ di accumulazione per $X$ .

Allora esiste un intorno $U$ di $x 0$ tale che $f(U\cap X)$ è un insieme limitato di $\R$ . Esiste cioè un numero $K > 0$ tale che il valore assoluto $| f (x) | < K$ per ogni $x$ in $U\cap X$ .