Teorema di Proth

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In teoria dei numeri, il teorema di Proth è un test di primalità per i numeri di Proth.

Il teorema afferma che, se p è un numero di Proth, nella forma k2ⁿ + 1 con k dispari e k < 2ⁿ, allora se per qualche numero intero a,

allora p è primo (ed è chiamato primo di Proth). Questo test è pratico perché se p è primo, qualunque a arbitrariamente scelto ha circa il 50% di probabilità di funzionare.

Indice 1 Esempi numerici 2 Storia 3 Articoli correlati 4 Collegamenti esterni

[modifica] Esempi numerici

Alcuni esempi di applicazione del teorema sono:

• per p = 3, 2¹ + 1 = 3 è divisibile per 3, dunque 3 è primo.
• per p = 5, 3² + 1 = 10 è divisibile per 5, dunque 5 è primo.
• per p = 13, 5⁶ + 1 = 15626 è divisibile per 13, dunque 13 è primo.
• per p = 9, che non è primo, non esiste alcun a tale che a⁴ + 1 è divisibile per 9.

Alcuni tra i più piccoli numeri primi di Proth sono (Sequenza OEIS:A080076 dell'OEIS):

3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153

A gennaio 2008, il più grande numero primo di Proth conosciuto è 19249 · 2^13018586 + 1, trovato dal progetto di calcolo distribuito Seventeen or Bust. Ha 3.918.990 cifre ed è il più grande numero primo conosciuto a non essere un primo di Mersenne. [1]

[modifica] Storia

François Proth (1852 - 1879) elaborò il teorema nel 1878 circa.

[modifica] Articoli correlati

• Numero di Sierpinski

[modifica] Collegamenti esterni

• (EN) Teorema di Proth su MathWorld.