Teorema di Poincaré-Birkhoff-Witt

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Nella teoria delle algebre di Lie, il teorema Poincaré–Birkhoff–Witt è un risultato fondamentale che caratterizza l'algebra universale inviluppante di ogni algebra di Lie.

Ricordiamo che ogni spazio vettoriale V su un campo ha una base di Hamel; c'è un insieme S su cui ogni elemento di V è una univoca (finita) combinazione lineare di elementi di S. Nella formulazione del teorema di Poincaré–Birkhoff–Witt noi consideriamo basi gli elementi di questi che sono totalmente ordinati da una relazione che noi chiamiamo ≤.

Se L è un'algebra di Lie su un campo K, allora dalla definizione, esiste una K-mappa lineare canonica h da L verso l'algebra universale inviluppante U(L). Tale algebra è una K-algebra associativa unitale.

Teorema. Sia L un'algebra di Lie su K e X una base di Hamel totalmente ordinata per L. Un monomio canonico su X è una sequenza finita (x₁, x₂ ..., x_n) di elementi di X che siano in ordine non decrescente per la relazione ≤, ovvero, x₁ ≤x₂ ≤ ... ≤ x_n. Estendiamo h con tutti i monomi canonici come segue: Se (x₁, x₂, ..., x_n) è un monomio canonico, sia: $h(x_1, x_2, \ldots, x_n) = h(x_1) \cdot h(x_2) \cdots h(x_n).$ Allora h è iniettiva e il suo intervallo è una base di Hamel per il K-spazio vettoriale U(L).

Fissato piuttosto diversamente, consideriamo Y = h(X). Y è totalmente ordinato dall'ordinamento introdotto da X. L'insieme dei monomi

$y_1^{k_1} y_2^{k_2} \cdots y_\ell^{k_\ell}$

dove y₁ <y₂ < ... < y_n sono elementi di Y e gli esponenti sono positivi, insieme all'unità moltiplicativa 1, forma una base di Hamel per U(L). Si noti che l'elemento unità 1 corrisponde al monomio canonico nullo.

Si noti anche che i monomi in Y formano una base dello spazio vettoriale. La struttura moltiplicativa di U(L) è determinata dalle costanti di struttura dell'algebra di Lie; questi sono i coefficienti c_u,v,x tali che

$[u,v] = \sum_{x \in X} c_{u,v,x}\; x.$

Il teorema di Poincaré–Birkhoff–Witt può essere intepretato dicendo che il prodotto dei monomi canonici in Y può essere ridotto univocamente alla combinazione lineare dei monomi canonici dall'uso ripetuto delle equazioni di struttura. Parte di ciò è chiaro: le strutture costanti determinano uv - vu, per esempio cosa fare nell'ordine per cambiare l'ordine di due elementi di X in un prodotto. Fatto ciò, modulo un argomento induttivo sul grado della somma dei monomi, un segno può sempre ottenere prodotti dove i fattori sono ordinati in modo non decrescente.

Corollario. Se L è un'algebra di Lie su un campo, la mappa canonica L → U(L) è iniettiva. In particolare, ogni algebra di Lie su un campo è isomorfa ad una sottoalgebra di Lie di un albegra associativa.