Teorema di Perron-Frobenius
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Il teorema di Perron-Frobenius afferma che, se A è una matrice non negativa (cioè, con tutti gli elementi maggiori o uguali a zero) irriducibile, allora
- L'autovalore di modulo massimo λ di A è reale positivo
- Esso è un autovalore semplice
- L'autovettore corrispondente ha tutte le componenti positive
- L'autovettore corrispondente è l'unico autovettore non negativo di A
- L'autovalore di modulo massimo, visto come funzione ρ(A) della matrice A, è una funzione strettamente crescente in ognuno dei suoi elementi: cioè, se
(s'intende che tale disuguaglianza valga elemento per elemento) e 
, allora ρ(B) > ρ(A)
Il teorema di Perron-Frobenius è un risultato abbastanza potente ma elementare di algebra lineare che solitamente non si vede nei primi corsi. Una sua applicazione è per esempio quella di assicurare l'esistenza di misure invarianti per catene di Markov finite.
[modifica] Storia
Il teorema fu enunciato da Perron nei primi del '900 e da lui dimostrato nel caso particolare in cui A ha tutti gli elementi positivi; fu poi esteso da Frobenius al caso qui riportato e a casi più complessi di matrici che mandano un cono di 
in sé. Wielandt trovò poi una dimostrazione particolarmente breve ed elegante del teorema.
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