Teorema di diagonalizzabilità
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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, il teorema di diagonalizzabilità è uno strumento che fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice quadrata sia diagonalizzabile.
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[modifica] Definizioni preliminari
Sia A una matrice quadrata con n righe, a valori in un campo K (ad esempio, il campo dei numeri reali o complessi). Il polinomio caratteristico di A è un polinomio di grado n definito nel modo seguente:
- p(x) = det(A − xI).
Le radici λ1, ..., λk di p(x) appartenenti al campo K, sono gli autovalori di A. Ogni autovalore λi ha una sua molteplicità come radice di p(x), detta molteplicità algebrica. Un autovalore con molteplicità algebrica 1 si dice semplice.
L'autospazio Vi relativo all'autovalore λi è l'insieme di tutti gli autovettori aventi λi come autovalore più l'origine. Abbiamo:
Chiamiamo molteplicità geometrica (o nullità) di λi la dimensione dell'autospazio Vi relativo a λi. Un autovettore per cui vale l'uguaglianza tra le due molteplicità (algebrica e geometrica) si dice regolare.
[modifica] Il teorema
[modifica] Enunciato
Il teorema di diagonalizzabilità asserisce che:
Una matrice quadrata A con n righe è diagonalizzabile se e solo se valgono entrambi i fatti seguenti:
- la somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è n;
- le molteplicità algebrica e geometrica di ogni autovalore sono coincidenti.
[modifica] Commenti
Il punto 1 equivale a chiedere che il polinomio caratteristico abbia tutte le radici nel campo, in altre parole che si spezzi come prodotto di polinomi di grado 1.
A proposito del punto 2, se indichiamo con malg(λ) e mgeo(λ) le molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore λ, notiamo che in generale valgono le seguenti disuguaglianze:
Quindi il teorema di diagonalizzabilità ha come corollario i fatti seguenti:
- Se il polinomio caratteristico ha n radici distinte nel campo, A è diagonalizzabile.
- Se esiste un autovalore λ tale che mgeo(λ) < malg(λ) , allora A non è diagonalizzabile.
- La forma diagonale di un endomorfismo non è univocamente individuata ma è definita a meno di permutazioni sulla diagonale principale.
[modifica] Esempi
Verifichiamo che la seguente matrice non è diagonalizzabile:
Il suo polinomio caratteristico p(x) = (1 − x)2 ha una sola radice, con molteplicità algebrica 2. Quindi il primo punto del teorema è soddisfatto. A questo punto la molteplicità geometrica dell'autovalore 1 può essere solo 1 o 2. Questa è pari alla dimensione del nucleo di B = A - I. La matrice B ha rango 1, quindi per il teorema della dimensione il suo nucleo ha dimensione 2-1 = 1. Quindi la molteplicità geometrica è 1, quella algebrica è 2: la matrice non è diagonalizzabile.
[modifica] Voci correlate
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