Teorema di Lebesgue

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In analisi matematica, il teorema di Lebesgue (teorema di differenziazione di Lebesgue) è un teorema che stabilisce l'equivalenza tra una funzione e la derivata del suo integrale. Il teorema si può considerare una estensione del teorema fondamentale del calcolo integrale al caso di funzioni integrabili secondo Lebesgue.

Indice 1 Definizioni preliminari 1.1 Integrale indefinito 1.2 Derivata dell'integrale indefinito 2 Enunciato 3 Estensioni e generalizzazioni del teorema 4 Casi particolari 5 Bibliografia 6 Voci correlate

[modifica] Definizioni preliminari

[modifica] Integrale indefinito

Data una funzione f integrabile secondo Lebesgue, l'integrale indefinito di f su un insieme misurabile A viene indicato con

,

ed è definito come la funzione che associa all'insieme A l'integrale di Lebesgue della funzione , dove χ(A) è la funzione caratteristica di A.

[modifica] Derivata dell'integrale indefinito

La derivata dell'integrale indefinito è definita come

,

dove , B è una sfera con centro in x, e l'espressione significa che il raggio di B tende a zero.

[modifica] Enunciato

Il teorema di Lebesgue enuncia che la derivata dell'integrale di f è uguale a f quasi ovunque, ovvero esiste un insieme X di misura uguale a quella di A per cui:

.

[modifica] Estensioni e generalizzazioni del teorema

È possibile estendere il teorema sostituendo le sfere B con degli insiemi U contenuti nelle medesime sfere, per i quali vale la condizione seguente:

.

Esiste anche un teorema che stabilisce l'equivalenza tra una funzione differenziabile e l'integrale della sua derivata, che richiede però la nozione di integrale di Henstock-Kurzweil per poter eseguire l'integrale di una derivata arbitraria.

[modifica] Casi particolari

Il teorema di Lebesgue, applicato alla funzione caratteristica di un insieme misurabile, dà il teorema di densità di Lebesgue, che enuncia che la frontiera di un insieme misurabile ha misura trascurabile. Di norma, però, si preferisce dimostrare quest'ultimo teorema attraverso metodi più semplici.

[modifica] Bibliografia

• Richard L. Wheeder; Antoni Zygmund. Measure and Integral - An introduction to Real Analysis. (in inglese) Dekker, 1977.
• John C. Oxtoby. Measure and Category. (in inglese) New York, Springer-Verlag, 1980.
• Elias M. Stein; Rami Shakarchi. Princeton Lectures in Analysis III: Real Analysis:Measure theory,Lebesgue integration, and Hilbert Spaces. (in inglese) Princeton, Princeton University Press, 2005.

[modifica] Voci correlate

• Henri Lebesgue
• Misura di Lebesgue