Teorema di Helmholtz

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Il teorema di Helmholtz afferma che un campo vettoriale è completamente determinato quando sono noti, in ogni punto del suo dominio, la sua divergenza e il suo rotore; inoltre il campo vettoriale può essere espresso come somma di un campo vettoriale irrotazionale e di un campo vettoriale solenoidale.

[modifica] Teorema

Sia A un campo vettoriale incognito, definito e regolare in tutto lo spazio, di cui si conoscono:

$\nabla \cdot \mathbf{A} \mbox{ e } \nabla \times \mathbf{A}$

e per cui valga la condizione:

$\lim_{r \to \infty} \mathbf{A} (\mathbf{r}) \left | \mathbf{r} \right | = \mathbf{c}, \quad \left | \mathbf{c} \right | < \infty$

Allora:

1) il campo vettoriale A è completamente determinato dalla sua divergenza e dal suo rotore e vale:

$\mathbf{A} (\mathbf{x}) = - \frac{1}{4\pi} \int_V{ \frac{\nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}(\mathbf{x'}))} {\left| \mathbf{x} - \mathbf{x'} \right|} dV} +\frac{1}{4\pi} \int_V{ \frac{\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{x'}))} {\left| \mathbf{x} - \mathbf{x'} \right|} dV}$

2) il campo vettoriale A può essere espresso come somma di un campo vettoriale irrotazionale e di un campo vettoriale solenoidale, di cui il primo è completamente determinato dalla divergenza e il secondo dal rotore:

$\mathbf{A} (\mathbf{x}) = - \frac{1}{4\pi} \nabla \int_V{ \frac{\nabla \cdot \mathbf{A}(\mathbf{x'})} {\left| \mathbf{x} - \mathbf{x'} \right|} dV} +\frac{1}{4\pi} \nabla \times \int_V{ \frac{\nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{x'})} {\left| \mathbf{x} - \mathbf{x'} \right|} dV}$

È bene tener presente che l'operatore nabla agisce rispetto alle coordinate x' all'interno degli integrali e rispetto alle coordinate x all'esterno e che l'integrazione avviene sulle coordinate x'.