Teorema della permanenza del segno

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Il teorema della permanenza del segno è un teorema di analisi matematica. Assume forme diverse a seconda del contesto, ed afferma che se un limite è strettamente positivo allora l'oggetto che vi converge è sempre positivo "da un certo punto in poi". Si applica soprattutto a successioni e funzioni.

Indice

1 Successioni
2 Funzioni
- 2.1 Enunciato
- 2.2 Dimostrazione

[modifica] Successioni

[modifica] Enunciato

Il teorema della permanenza del segno per le successioni afferma che

Una successione ${a n}$ che converge ad un limite strettamente positivo $a > 0$ (che può essere anche $+\infty$ ) ha definitivamente soltanto termini positivi. In altre parole, esiste un $N$ tale che $a n > 0$ per ogni $n > N$ .

Analogamente, una successione che converge ad un limite strettamente negativo ha definitivamente soltanto termini negativi.

[modifica] Dimostrazione

Se $a$ è finito, basta prendere $ε = a / 2$ nella definizione di limite: esiste quindi un $N$ tale che $a n$ è nell'intervallo $(a - a / 2, a + a / 2)$ per ogni $n > N$ ; poiché $a - a / 2 > 0$ , allora $a n > 0$ per ogni $n > N$ .

Se $a=+\infty$ , per la definizione di convergenza, dato un $M > 0$ qualsiasi esiste $N$ tale che $a n > M$ per ogni $n > N$ .

[modifica] Esempi

La successione

$a_n = \left(1+\frac 1 n\right)^n - 2.5$

converge ad $e - 2.5$ , dove $e = 2.71828\ldots$ è il numero di Nepero. Il limite $e - 2.5 = 0.21828\ldots$ è strettamente positivo, quindi esiste un $N$ tale che $a n > 0$ per ogni $n > N$ .
Un teorema di questo tipo non vale se il limite è zero: una successione che converge a zero può avere infiniti termini di ambo i segni, ad esempio $a n = ( - 1) n / n$

$-1,\frac 1 2,-\frac 1 3, \frac 1 4,-\frac 1 5, \frac 1 6,\ldots$

[modifica] Funzioni

[modifica] Enunciato

Il teorema della permanenza del segno per le funzioni afferma che

Sia $f:X \to \R$ una funzione definita su un aperto dei numeri reali, che ha limite

$\lim_{x\to x_0}f(x) = l>0$

strettamente positivo in un punto $x 0$ di accumulazione per $X$ .

Allora esiste un intorno $U$ di $x 0$ tale che $f (x) > 0$ per ogni $x$ in $U\cap X$ diverso da $x 0$ .

[modifica] Dimostrazione

Sia $ε = l / 2$ . Per la definizione di limite, esiste un intorno $V$ tale che $| f (x) - l | < l / 2$ per ogni $x\neq x_0$ del dominio in $V$ . Quindi per tali $x$ abbiamo