Teorema della mediana

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Il teorema della mediana è un teorema di geometria derivato dalla legge del coseno o teorema di Carnot.

[modifica] Enunciato

In un triangolo il doppio del quadrato della mediana relativa ad un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati diminuito della metà del quadrato del primo lato.

In altri termini, con riferimento al triangolo OAB vale l'identità:

$\scriptstyle\overline2{OM}^2=\overline{OA}^2+\overline{OB}^2-{\overline{AB}^2\over 2}$ , dove M è il punto medio di AB.

[modifica] Prima dimostrazione

Ponendo:

$\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OA}=\vec a\quad \overrightarrow{\scriptstyle OB}=\vec b\quad \overrightarrow{\scriptstyle OM}=\vec m.$

Si ha:

$\scriptstyle \vec a= \vec m-\vec u, \quad \vec b= \vec m+\vec u$

Elevando al quadrato scalare i membri delle ultime uguaglianze si ha:

$\scriptstyle \vec a^2= (\vec m-\vec u)^2\quad \vec b^2= (\vec m+\vec u)^2$

sviluppando i calcoli si ottiene:

$\scriptstyle \vec m^2-2\vec m\cdot\vec u +\vec u^2 =\vec a^2$

$\scriptstyle \vec m^2+2\vec m\cdot\vec u +\vec u^2 =\vec b^2$

successivamente sommando membro a membro:

$\scriptstyle 2m^2+2u^2 = a^2 +b^2$

e infine:

$\scriptstyle 2m^2 =a^2+b^2-{(2u)^2\over 2}$ .

[modifica] Seconda dimostrazione

Ponendo:

$\scriptstyle O\widehat M A=\theta, \quad O\widehat M B=\pi-\theta$

applicando, ora, il teorema del coseno ai triangoli OMA e OMB, si ha:

$\scriptstyle b^2=m^2+u^2 -2mu\cos \theta$

$\scriptstyle a^2=m^2+u^2 -2mu\cos (\pi-\theta)=m^2+u^2 +2mu\cos \theta$

Sommando quindi membro a membro le ultime uguaglianze si perviene all'identità richiesta.

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che parlano di matematica

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Teorema della mediana

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

[modifica] Enunciato

[modifica] Prima dimostrazione

[modifica] Seconda dimostrazione

Views

Navigazione

comunità

Ricerca