Teorema della dimensione per spazi vettoriali

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In matematica, il Teorema della dimensione per spazi vettoriali asserisce che la dimensione è un concetto intrinseco di ogni spazio vettoriale, o più intuitivamente che due spazi di dimensione diversa sono necessariamente diversi.

[modifica] Il teorema

Il teorema asserisce che:

Questa cardinalità, che quindi dipende solo dallo spazio V, è quindi detta la dimensione di V.

[modifica] Dimostrazione

Descriviamo brevemente una dimostrazione nel caso in cui le basi abbiano cardinalità finita. Siano quindi per assurdo due basi B e B' di V, che contengono k e h vettori con k < h. Scriviamo ogni vettore di B' come combinazione lineare dei k vettori di B. I coefficienti della combinazione lineare sono k elementi del campo K: quindi per ogni vettore di B' otteniamo un vettore in K^k (che rappresenta le sue coordinate rispetto a B).

Otteniamo quindi h vettori v₁, ..., v_h in K^k. Usando l'algoritmo di Gauss si vede che il sistema lineare omogeneo

x₁v₁ + ... + x_hv_h = 0

con variabili x₁, ..., x_h ammette soluzioni non banali (cioè diverse dal vettore nullo), perché ci sono più incognite che equazioni. Ciascuna di queste soluzioni non banali fornisce una dipendenza lineare fra i vettori di coordinate v₁, ..., v_h, che si traduce in una relazione di dipendenza fra i vettori originali di B' , che quindi non possono formare una base.

[modifica] Voci correlate

• Base
• Teorema della dimensione