Spazio totalmente limitato

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In matematica, uno spazio metrico si definisce totalmente limitato se, fissato un raggio arbitrario, è possibile ricoprirlo con un numero finito di palle di quel raggio. Se $S\$ è lo spazio, in simboli si scrive:

$\forall \epsilon > 0 ,\, \exists B_\epsilon^1 ,\, B_\epsilon^2 ,\, \ldots ,\, B_\epsilon^n :\, \bigcup_{i=1}^n B_\epsilon^i = S$

[modifica] Spazi limitati e totalmente limitati

La nozione di spazio totalmente limitato è molto simile a quella di spazio limitato, ma è in realtà più forte: è infatti facile dimostrare che ogni spazio totalmente limitato è limitato^[1]. D'altro canto, esistono esempi di insiemi limitati che non sono totalmente limitati; ad esempio, considerando il piano $\mathbb{R}^2$ con la metrica discreta:

$\begin{matrix} d: \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{R}^+ \\ (P_1, P_2) & \mapsto & \left\{ \begin{matrix} 0 & (P_1 = P_2) \\ 1 & (P_1 \neq P_2) \end{matrix} \right. , \end{matrix}$

si ha che per qualunque raggio $ε < 1$ , occorrono infinite palle per ricoprire il piano, in quanto ogni punto dista 1 da tutti gli altri punti.

Esistono tuttavia molti casi in cui le due nozioni coincidono, ad esempio uno spazio euclideo è totalmente limitato se e solo se è limitato.

[modifica] Relazioni con gli spazi compatti

Uno spazio metrico è compatto se e solo se è completo e totalmente limitato; questa proprietà è una estensione del teorema di Heine-Borel, che caratterizza gli spazi euclidei compatti.

È inoltre possibile dimostrare che uno spazio è totalmente limitato se e solo se lo è il suo completamento; sugli spazi euclidei questo equivale a dire che uno spazio è limitato se e solo se lo è la sua chiusura.

Dalle due precedenti proprietà segue che uno spazio è totalmente limitato se e solo se il suo completamento è compatto; quest'ultima caratterizzazione può venire considerata come definizione di spazio totalmente limitato.

[modifica] Estensioni a spazi topologici

La definizione sopra data può essere estesa anche a spazi non dotati di una distanza, ma di una più generica struttura di spazio topologico.

Un sottoinsieme $S \subseteq X$ di uno spazio vettoriale topologico o un gruppo abeliano topologico è detto totalmente limitato se, per ogni intorno $E\$ dell'elemento neutro $0 \in X$ , esiste un ricoprimento finito formato da traslazioni di sottoinsiemi di $E\$ . Definire l'intorno $E\$ equivale a fissare la "dimensione" degli insiemi che formano il ricoprimento, "dimensione" che non è alterata traslando l'insieme stesso. In simboli si può scrivere:

$\forall E \subseteq S :\, 0 \in E ,\, \exists x_1 ,\, x_2 ,\, \ldots ,\, x_n \in X :\, S \subseteq \bigcup_{i=1}^n \left( E + x_i \right)$

Se $X\$ non è abeliano, è possibile definire due nozioni separate di spazio totalmente limitato a sinistra o a destra, sostituendo nella definizione sopra $E + x i$ rispettivamente con le traslazioni sinistre e destre $x i E$ e $E x i$ .

Infine è possibile estendere la definizione per qualunque struttura che possieda la definizione di compattezza e completezza, usando la caratterizzazione definita nel paragrafo precedente e definendo pertanto gli spazi totalmente limitati come spazi il cui completamento è compatto. Se vale l'assioma della scelta, questa definizione è anche equivalente a quella di spazio precompatto.