Similitudine fra matrici

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, due matrici quadrate A e B sono simili quando esiste una matrice invertibile M tale che

$\ A = M^{-1}BM$

Tutte le matrici in questione sono quadrate con lo stesso numero di righe. La similitudine fra matrici è una relazione di equivalenza, e induce quindi una partizione dell'insieme M(n, K) di tutte le matrici quadrate n per n a valori in un campo K.

La relazione di similitudine fra matrici è importante, perché matrici simili rappresentano lo stesso "tipo" di applicazione lineare.

[modifica] Proprietà

La relazione di similitudine è una relazione di equivalenza.

[modifica] Stessi invarianti

Due matrici simili hanno lo stesso rango, determinante e traccia. Diciamo quindi che rango, determinante e traccia sono invarianti per similitudine. La dimostrazione dell'invarianza del determinante passa per il teorema di Binet:

$\det (M^{-1}BM) = \det(M^{-1})\cdot\det B\cdot\det M =$

$(\det M)^{-1}\cdot\det B\cdot\det M = \det B\cdot(\det M)^{-1}\cdot\det M = \det B$

Due matrici simili hanno inoltre lo stesso polinomio caratteristico e lo stesso polinomio minimo. Quindi hanno anche gli stessi autovalori.

[modifica] Relazione con gli endomorfismi

La relazione di similitudine fra matrici è usata soprattutto per la sua stretta relazione con la teoria degli endomorfismi di uno spazio vettoriale, riassunta nell'asserzione seguente:

Sia T un endomorfismo di uno spazio vettoriale. Le matrici associate a T rispetto a due basi diverse dello spazio sono simili.

[modifica] Diagonalizzabilità

Una matrice simile ad una matrice diagonale si dice diagonalizzabile. Lo studio della diagonalizzabilità di una matrice è un problema centrale in algebra lineare.

Non tutte le matrici sono diagonalizzabili. All'interno di ogni classe di similitudine esiste comunque una matrice "più semplice", che è più vicina possibile ad una matrice diagonale: questa è la forma di Jordan (questo è valido sui campi reale e complesso).

[modifica] Esempi

La matrice identità e la matrice nulla sono simili solo a sé stesse.
Due matrici con la stessa traccia, lo stesso determinante e lo stesso polinomio caratteristico possono non essere simili. Ad esempio:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$