Secondo teorema di Euclide

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In geometria, il secondo teorema di Euclide è un teorema concernente il triangolo rettangolo che deriva, assieme al primo, dalla proposizione 8 del IV libro degli Elementi di Euclide; nei testi scolastici può essere enunciato in due modi diversi a seconda della proprietà che si desidera sottolineare:

1. mediante l'equiestensione tra figure:

   In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equiesteso al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.

2. mediante relazioni tra segmenti:

   In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.

Le due enunciazioni sono equivalenti e mutualmente dimostrantesi.

Indice 1 Enunciato con l'equivalenza 1.1 Dimostrazione 2 Enunciato con la similitudine 2.1 Dimostrazione 2.2 Dimostrazione con il Teorema di Pitagora 3 Equivalenza fra gli enunciati 4 Voci correlate

[modifica] Enunciato con l'equivalenza

In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo avente per dimensioni le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

[modifica] Dimostrazione

Facendo riferimento alla figura, sia CL congruente e perpendicolare a CA e CR congruente a CH.

Si vuole dimostrare che il quadrato HPQB è equivalente al rettangolo RLMS.

Si consideri il triangolo rettangolo BCH e ad esso si applichi il teorema di Pitagora. Si ottiene che il quadrato CBDE è equivalente alla somma dei quadrati HPQB e CRSH.

Si consideri ora il triangolo rettangolo ABC, e ad esso si applichi il primo teorema di Euclide. Si ottiene che il quadrato CBDE è equivalente al rettangolo CLMH, ma tale rettangolo può essere considerato come la somma del quadrato CRSH e del rettangolo RLMS.

Allora la somma di HPQB e CRSH è equivalente alla somma di CRSH e RLMS, quindi, per differenza, HPQB è equivalente a RLMS. Q.E.D.

[modifica] Enunciato con la similitudine

In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

In formule, facendo riferimento al triangolo rettangolo in figura: CH:BH = BH:HA. In modo equivalente: BH² = CH·HA.

[modifica] Dimostrazione

Si considerino i triangoli BCH e BHA. Dato che l'angolo HAB è complementare sia di ABH che di BCA, si può concludere che gli angoli ABH e BCA sono congruenti, e quindi i triangoli BCH e BHA sono simili per il primo criterio di similitudine. Si può quindi scrivere la proporzione CH:BH = BH:HA. Q.E.D.

[modifica] Dimostrazione con il Teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora, applicato al triangolo ABC ci dice che:

AB² + CB² = CA²

Invece applicato al triangolo CHB

CH² + BH² = CB²

E al triangolo AHB

HA² + BH² = AB²

Unendo le due uguaglianze abbiamo che:

HA² + BH² + CH² + BH² = HA² + 2BH² + CH² = CA²

Ma CA = CH + HA e dunque

HA² + 2BH² + CH² = (CH + HA)² = CH² + HA² + 2HA·CH

Togliendo i quadrati da entrambi i lati:

2BH² = 2HA·CH

Ossia

BH² = HA·CH

Che è l'equivalenza QED

[modifica] Equivalenza fra gli enunciati

È facile mostrare che i due enunciati sono fra loro equivalenti, una volta introdotto il concetto di misura. Infatti, con riferimento alla figura, il primo enunciato si può esprimere anche dicendo che l'area della superficie del quadrato HPQB è equivalente all'area della superficie del rettangolo RLMS. In formule: BH·BH = RS·RL. Avendo costruito la figura in modo che RS = CH e che RL = HA, si può scrivere che BH·BH = CH·HA, il che significa che CH:BH = BH:HA, che infine dimostra l'equivalenza fra i due enunciati.

[modifica] Voci correlate

• Primo teorema di Euclide
• Teorema di Pitagora
• Euclide