Primo teorema di Euclide

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In geometria, il primo teorema di Euclide è un teorema concernente il triangolo rettangolo che deriva, assieme al secondo, dalla proposizione 8 del IV libro degli Elementi di Euclide; nei testi scolastici può essere enunciato in due modi diversi a seconda della proprietà che si desidera sottolineare:

1. mediante l'equivalenza tra figure:

   In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa.

2. mediante relazioni tra segmenti:

   In un triangolo rettangolo, il cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la propria proiezione su di essa.

Le due enunciazioni sono equivalenti e mutualmente dimostrantesi.

Indice 1 Enunciato con l'equivalenza 1.1 Dimostrazione 2 Enunciato con la similitudine 2.1 Dimostrazione 3 Equivalenza fra gli enunciati 4 Voci correlate

[modifica] Enunciato con l'equivalenza

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa.

[modifica] Dimostrazione

Facendo riferimento alla figura, si consideri il triangolo rettangolo ABC. Sul cateto BC si costruisca il quadrato BDEC e sia CH la proiezione del cateto BC sull'ipotenusa CA. Si costruisca il rettangolo HCLM avente CL congruente a CA. Si prolunghi il lato ED dalla parte di D fino ad incontrare in F la retta contenente il segmento CL e in G la retta contenente il segmento MH. Si vuole dimostrare che il quadrato BDEC è equivalente al rettangolo HCLM.

Si considerino ora i triangoli ABC e CFE. Essi hanno:

• BC congruente a CE per costruzione,
• l'angolo ABC congruente all'angolo FEC perché retti,
• l'angolo BCA congruente all'angolo ECF perché entrambi complementari dello stesso angolo FCB.

Dunque, per il secondo criterio di congruenza dei triangoli, i triangoli ABC e CFE sono congruenti, e in particolare si ha che CA è congruente a CF.

Si considerino il quadrato BDEC e il parallelogramma FCBG. Essi hanno la stessa base CB e la stessa altezza DB (perché DE e GF appartengono alla stessa retta) e quindi sono equivalenti.

Si considerino il parallelogramma FCBG e il rettangolo HCLM. Essi hanno basi congruenti (infatti FC è congruente a CA per dimostrazione precedente, e CA è congruente a CL per costruzione, quindi FC è congruente a CL per la proprietà transitiva della congruenza) e la stessa altezza (infatti FC e CL appartengono alla stessa retta, e così pure BG e MH), quindi sono equivalenti. Q.E.D.

Allora, per la proprietà transitiva dell'equivalenza, il quadrato BDEC è equivalente al rettangolo HCLM.

[modifica] Enunciato con la similitudine

In un triangolo rettangolo il cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.

In formule, facendo riferimento al triangolo rettangolo in figura: CA:BC = BC:CH. In modo equivalente: BC² = CA·CH.

[modifica] Dimostrazione

Si considerino i triangoli ABC e BCH. Essi hanno tutti gli angoli congruenti (sono entrambi rettangoli e hanno l'angolo in C in comune), e quindi sono simili per il primo criterio di similitudine. Allora si può scrivere la proporzione CA:BC = BC:CH. Q.E.D.

[modifica] Equivalenza fra gli enunciati

È facile mostrare che i due enunciati sono fra loro equivalenti, una volta introdotto il concetto di misura. Infatti, con riferimento alla figura, il primo enunciato si può esprimere anche dicendo che l'area della superficie del quadrato BDEC è uguale all'area della superficie del rettangolo HCLM. In formule: BC·BC = CH·CL. Dato che CL = CA (per costruzione), allora si può scrivere che BC·BC = CH·CA, il che significa che CA:BC = BC:CH, che infine dimostra l'equivalenza fra i due enunciati.

[modifica] Voci correlate

• Secondo teorema di Euclide
• Euclide