Polinomio irriducibile
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In matematica, un polinomio p(x) è irriducibile se non esistono dei polinomi q(x) e s(x) tali che q(x)*s(x)=p(x) con q(x) e s(x) non invertibili. Altrimenti si dice riducibile.
Se i coefficienti del polinomio sono presi in un campo, i fattori di un polinomio riducibile sono entrambi di grado inferiore e non costanti. Ad esempio
- p(x) = x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1)
è riducibile.
Se però i coefficienti sono considerati appartenenti ad un anello, questo non è sempre vero: ad ezempio il polinomio 2x+6 è ovviamente irriducibile se considerato come polinomio in , mentre è riducibile se considerato su , perché la fattorizzazione 2x+6=2(x+3) non è banale, in quanto l'inverso di 2, ovvero 1/2, non è un numero intero, e quindi 2 non è un elemento invertibile dell'anello dei polinomi a coefficienti interi.
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[modifica] Esempi
L'irriducibilità dipende fortemente dalla scelta dell'anello a cui devono appartenere i coefficienti. Ad esempio, il polinomio
- p(x) = x2 − 2
è irriducibile se tale anello è quello degli interi, mentre è riducibile se l'anello è il campo dei numeri reali, perché qui si spezza in
Analogamente, il polinomio
- q(x) = x2 + 1
è irriducibile sui numeri reali, mentre è riducibile sui numeri complessi, perché si scompone come
- q(x) = (x + i)(x − i)
[modifica] Polinomi irriducibili nei vari campi
[modifica] Numeri complessi
Per il teorema fondamentale dell'algebra, un polinomio è irriducibile sul campo dei complessi se e solo se ha grado 1.
[modifica] Numeri reali
I polinomi irriducibili sul campo dei reali sono precisamente:
- I polinomi di primo grado;
- I polinomi di secondo grado con delta minore di zero.
Quindi ogni polinomio a coefficienti reali è il prodotto di alcuni polinomi di questi due tipi. Questo deriva dal fatto che se un numero complesso z è uno zero di un polinomio, allora anche il suo complesso coniugato è soluzione, e il prodotto dei fattori
è formato da numeri reali.
[modifica] Numeri razionali
Sul campo dei numeri razionali, esistono polinomi irriducibili di qualsiasi grado, ma non esiste nessun criterio generale per determinare se un polinomio sia irriducibile o meno. Esistono tuttavia vari metodi che possono dare o meno risultati; generalmente il primo passo è trasformare il polinomio originario in un polinomio a coefficienti interi, moltiplicandolo per il minimo comune multiplo dei denominatori. L'operazione è lecita grazie al lemma di Gauss, che garantisce che il polinomio originale è irriducibile se e solo se lo è il trasformato (a meno di fattori costanti, che sono irriducibili su ma invertibili in ). Dopo si possono provare varie strade:
- Cercare radici razionali; per il teorema delle radici razionali il loro numeratore deve dividere a0, mentre il denominatore deve dividere il coefficiente direttore. L'insieme dei valori possibili è così limitato; se uno di questi è una radice, allora il polinomio è sicuramente riducibile.
- Tentare di applicare il criterio di Eisenstein.
- Trasferire il polinomio in , con p primo tale che ; se il polinomio è irriducibile in questo anello allora sarà irriducibile anche in .
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