Operatore densità

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L'operatore densità, o matrice densità, è utilizzato in Meccanica quantistica per descrivere lo stato statistico di un sistema quantistico. Il formalismo venne introdotto da John von Neumann (altre fonti sostengono che venne introdotto indipendentemente anche da Lev Landau e Felix Bloch ) nel 1927. È l'analogo quantistico della distribuzione di probabilità nello spazio delle fasi in meccanica classica. La necessità di una descrizione statistica emerge perché non è possibile descrivere un sistema quantistico che sia sottoposto ad una generica operazione quantistica, come ad esempio una misura, usando esclusivamente stati rappresentati da vettori ket.

Un sistema in generale è detto essere in uno stato misto, eccetto nel caso lo stato non sia riducibile ad una combinazione convessa di altri stati. In questo caso lo stato è detto stato puro.

Situazioni tipiche in cui un operatore densità è richiesto includono: uno stato quantistico in equilibrio termico (a temperature finite) e nel caso di entanglement tra due sistemi, in tal caso ogni sistema è in uno stato misto anche se lo stato del sistema complessivo può essere puro. Si veda meccanica statistica quantistica.

[modifica] Formalismo

L'operatore densità, comunemente chiamato ρ, è un operatore sullo Spazio di Hilbert del sistema in questione. Nel caso speciale di uno stato puro è dato dall'operatore di proiezione dello stato. Per uno stato misto, dove il sistema è nello stato $|\psi_j \rang$ con probabilità p_j, l'operatore densità è la somma dei proiettori, pesata con le appropriate probabilità:

$\rho = \sum_j p_j |\psi_j \rang \lang \psi_j|$

L'operatore densità è utilizzato per calcolare i valori di aspettazione di ogni osservabile A del sistema, mediato su tutti i differenti stati $|\psi_j \rang$ . Come si può vedere l'operazione è equivalente a prendere la traccia del prodotto tra ρ e A:

$\operatorname{tr}[\rho A]=\sum_j p_j \lang \psi_j|A|\psi_j \rang$

Le probabilità p_j sono non-negative e normalizzate. Per l'operatore densità questo significa che ρ è un operatore positivo e che la traccia di ρ è uguale a uno.

[modifica] Formulazione in termini di algebre C*

È ora in generale accettato che la descrizione della meccanica quantistica in cui tutti gli operatori autoaggiunti rappresentino osservabili non è mantenibile. Gli osservabili sono oggi identificati con elementi di un'astratta algebra C* A e gli stati vengono rappresentati da funzionali positivi su A. In questo formalismo gli stati puri sono gli estremali dell'insieme convesso degli stati. Si noti che attraverso la costruzione GNS è possibile recuperare lo spazio di Hilbert che realizza A come un'algebra di operatori.