Numero di Harshad

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Un numero di Harshad in una data base è un numero intero positivo che è divisibile per la somma delle sue cifre.

La definizione dei numeri di Harshad è stata data dal matematico indiano Dattatreya Ramachandra Kaprekar. Il termine Harshad deriva dal sanscrito "harṣa" che significa "grande gioia". A volte ci si riferisce a questi numeri anche come numeri di Niven, in onore del matematico Ivan Morton Niven.

Indice

1 Definizione matematica
2 Numeri di Harshad in base 10
3 Numeri di Harshad in base b
- 3.1 Numeri di b-Harshad consecutivi
- 3.2 Che numeri possono o non possono essere numeri di b-Harshad?
4 Numeri Harshad-morfici
5 Bibliografia

[modifica] Definizione matematica

Dato un intero positivo X che, espresso in base n, sia di m cifre a_i (con i = 0, 1, ..., m − 1) (Si noti che a_i deve essere zero o un intero positivo inferiore a n), allora X può essere scritto come:

$X=\sum_{i=0}^{m-1} a_i n^i.$

Se esiste un intero A tale che valga la seguente uguaglianza, allora X è un numero di Harshad in base n:

$X=A\sum_{i=0}^{m-1} a_i.$

[modifica] Numeri di Harshad in base 10

I primi numeri di Harshad nella base 10 con più di una cifra sono (sequenza A005349 dell'OEIS):

10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, 201, 204

[modifica] Numeri di Harshad consecutivi

H.G. Grundman ha dimostrato nel 1994 che, in base 10, non esistono sequenze di numeri di Harshad consecutivi di lunghezza pari o superiore a 21. Ha anche individuato la prima sequenza di 20 numeri consecutivi: si trova oltre 10^44363342786.

[modifica] Stima della quantità di numeri di Harshad

Sia N(x) la funzione che restituisce il numero di numeri di Harshad ≤ x:

Jean-Marie De Koninck e Nicolas Doyon hanno dimostrato che per qualsiasi ε > 0: $x^{1-\varepsilon} \ll N(x) \ll \frac{x\log\log x}{\log x}$ .

De Koninck, Doyon e Kátai hanno poi dimostrato che, posto c = (14/27) log 10 ≈ 1,1939: $N(x)=(c+o(1))\frac{x}{\log x}$ .

[modifica] Che numeri possono o non possono essere numeri di Harshad?

Ogni numero naturale con notazione $\mathbb ennn$ , dove $\mathbb en$ è una qualsiasi cifra compresa tra 0 e 9, è un numero di Harshad, infatti $\mathbb ennn = \mathbb en\cdot10^2+\mathbb en\cdot10^1+\mathbb en\cdot10^0 = \mathbb en\cdot(100+10+1) = \mathbb en\cdot111 = \mathbb en\cdot(3\cdot37) = (3\cdot \mathbb en)\cdot37$ , per cui $\mathbb ennn$ è sicuramente divisibile per la somma delle sue cifre.

Con procedimento analogo si può dimostrare che ogni numero naturale con notazione $\mathbb en...n$ di lunghezza $\mathbb el$ pari ad una qualsiasi potenza naturale di 3, è un numero di Harshad, infatti si può sempre fattorizzare $\mathbb (l \cdot n)$ .

Tutti i fattoriali fino a 431! compreso sono numeri di Harshad. 432! è il primo a non esserlo. Invece lo sono altri fattoriali, ad esempio: 444!, 453!, 458!, 474!, 476!, 485!, 489!, ...

[modifica] Numeri di Harshad in base b

Un numero di Harshad in una generica base b viene definito un numero di b-Harshad (secondo la notazione di Grundman del 1994).

I numeri 1, 2, 4 e 6 sono tutti e i soli ad essere numeri di Harshad in qualunque base siano espressi; per questa proprietà sono detti numeri di Harshad completi.

[modifica] Numeri di b-Harshad consecutivi

In notazione binaria, c'è un numero infinito di sequenze di 4 numeri di 2-Harshad; in notazione ternaria, c'è un numero infinito di sequenze di 6 numeri di 3-Harshad. Entrambe le dimostrazioni si devono a T. Cai che le pubblicò nel 1996.

[modifica] Che numeri possono o non possono essere numeri di b-Harshad?

Ogni numero $\mathbb en$ inferiore alla base $\mathbb eb$ è un numero di b-Harshad. Infatti essendo la sua notazione di una sola cifra, risulta evidentemente essere divisibile per sé stesso.

Ogni numero $\mathbb ea$ che sia una potenza intera di $\mathbb eb$ (ovvero $\mathbb ea = \mathbb eb^n$ ) è un numero di b-Harshad, poiché la sua notazione in base $\mathbb eb$ è 10, 100, ..., 10...0 quindi la somma delle cifre di $\mathbb ea$ è sempre pari a 1 che è sicuramente un divisore di $\mathbb ea$ .

Un numero primo $\mathbb ep$ è un numero di b-Harshad solamente se è inferiore o uguale alla base $\mathbb eb$ . La prima regola esposta assicura la validità di questa regola per i casi $\mathbb ep < \mathbb eb$ . La seconda regola esposta, per il caso $\mathbb ep = \mathbb eb$ (nell'eventulità che $\mathbb eb$ stesso sia primo). La validità per i casi rimanenti può essere dimostrata per assurdo, infatti se esistesse un numero primo $\mathbb ep$ , superiore alla base $\mathbb eb$ che fosse un numero di b-Harshad, allora la somma delle sue cifre (che è necessariamente inferiore a $\mathbb ep$ e superiore all'unità) sarebbe un divisore di $\mathbb ep$ che, tuttavia, essendo primo ammette come divisori unicamente $\mathbb ep$ e l'unità.

[modifica] Numeri Harshad-morfici

Un numero intero $\mathbb et$ si dice Harshad-morfico (o Niven-morfico) se, per una data base $\mathbb eb$ , è possibile trovare un numero di b-Harshad $\mathbb en$ , tale che la somma delle sue cifre sia pari a $\mathbb et$ , e $\mathbb et$ sia la parte terminale della notazione di $\mathbb en$ scritto nella stessa base $\mathbb eb$ .

Ad esempio, 18 è Harshad-morfico in base 10, poiché:

 16218 ha 18 come somma delle cifre
    18 è un divisore di 16218 (quindi 16218 è un numero di Harshad)
    18 è la parte finale di 16218

Sandro Boscaro ha dimostrato che in base 10 tutti i numeri interi sono Harshad-morfici tranne 11.

[modifica] Bibliografia

H. G. Grundmann, Sequences of consecutive Niven numbers, Fibonacci Quarterly 32 (1994), 174-175
Jean-Marie De Koninck and Nicolas Doyon, On the number of Niven numbers up to x, Fibonacci Quarterly Volume 41.5 (November 2003), 431–440
Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon and I. Katái, On the counting function for the Niven numbers, Acta Arithmetica 106 (2003), 265–275
Sandro Boscaro, Nivenmorphic Integers, Journal of Recreational Mathematics 28, 3 (1996 - 1997): 201–205

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Categoria: Teoria dei numeri

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