Moto parabolico

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Il moto parabolico è un tipo di moto esprimibile attraverso la combinazione di due moti diversi:

Il moto parabolico è studiato attraverso la cinematica, per cui è soggetto ad una forte esemplificazione:

Tutta la massa e la geometria del corpo sono concentrate in un unico punto

Ulteriori assunti presenti nel seguito (semplificazioni della fisica e della geometria del problema) sono:

Assenza di attriti;
Il lancio del corpo avviene all'istante t=0 nell'origine di un sistema di riferimento x-y O, e la velocità iniziale v₀ forma un angolo θ con l'asse x orizzontale.
Campo di forze conservative (nella specie, forza gravitazionale) ed indipendenti dal tempo.

Indice

1 Analisi del moto parabolico: traiettoria
2 Gittata
3 Altezza Massima
4 Angolo di lancio per la Gittata Massima
5 Tempo di Volo
6 Osservazioni
7 Collegamenti esterni
8 Moto dei proiettili

[modifica] Analisi del moto parabolico: traiettoria

Dalle leggi del moto uniformemente accelerato si sa che:

$\vec v (t) = \vec v_0 + \int_{0}^{t} \vec a (t) dt$

Ipotizzando di trovarci in prossimità della Terra, possiamo considerare la funzione a(t) come costante, con valore pari a -g diretta lungo la perpendicolare al terreno (asse y), si ha quindi che:

$\vec v (t) = \vec v_0 - g \cdot t \cdot\hat u_y$

Come si può notare dalla formula, la velocità giace sempre nel piano formato dai vettori costanti v₀ e g, ovvero quello su cui si svolge il moto. Possiamo scomporre allora il vettore velocità lungo le due componenti x e y:

$\vec v_0 = v_0 cos{\theta}\cdot \hat u_x + v_0 sin{\theta}\cdot \hat u_y,$

si avrà dalla relazione precedente:

$\vec v(t) = v_0 cos {\theta} \cdot\hat u_x + (v_0 sin {\theta} - g t)\cdot \hat u_y$

Proiettando le velocità sugli assi si ottiene(in modulo) v_x = v₀ cosθ, costante nel tempo, e v_y = v₀ sinθ - gt, da cui si ricavano le leggi orarie dei moti lungo x e y:

$x(t) = v_0 cos {\theta} \cdot t$
$y(t) = v_0 sin {\theta} \cdot t - \frac {1}{2} g t^2$

La traiettoria viene ricavata eliminando la variabile temporale e ottenendo così la funzione $y (x)$ :

$\frac{y}{x} = \frac{v_0 sin {\theta}t-\frac{1}{2}gt^2}{v_0 cos {\theta}t}$
$\frac{y}{x} = tan {\theta}-\frac{gt}{2v_0 cos {\theta}}$

La $t$ viene esplicitata dalla legge oraria $x (t)$

$t=\frac{x}{v_0 cos{\theta}}$
$\frac{y}{x} = tan {\theta}-\frac{gt}{2v_0 cos {\theta}}$
$\frac{y}{x} = tan {\theta} -\frac{g}{2 v_0 cos {\theta}} \cdot \frac{x}{v_0 cos {\theta}}$

$y(x) = x tan {\theta} - \frac {g}{2 v_0^2 cos^2 {\theta}}\cdot x^2$

che è l'equazione analitica di una parabola con concavità rivolta verso il basso, e rappresentata dalla figura.

Traiettoria parabolica del punto

[modifica] Gittata

La gittata, cioè la distanza fra il punto di lancio O e quello di atterraggio G, si calcola trovando i punti per cui la parabola si annulla. Essendo l'equazione di secondo grado, si ottengono due soluzioni:

$x = 0$
$x_G = \frac {2 v_0^2 cos^2 {\theta} tan {\theta}}{g} = \frac {2 v_0^2 cos {\theta} sin {\theta}}{g}$

[modifica] Altezza Massima

Siccome il moto parabolico è simmetrico rispetto all'asse passante per i vertice e parallelo all'asse y (proprietà della parabola), l'ascissa del punto di atterraggio è due volte l'ascissa del vertice della parabola, ovvero il doppio dell'ascissa del punto di massima altezza. Il valore di tale altezza massima sarà:

$y_M= \frac {v_0^2 sin^2 {\theta}}{2g}$

[modifica] Angolo di lancio per la Gittata Massima

Fissata v(0), l'angolo per la gittata massima si ha quando la traiettoria presenta un massimo, ovvero se $\frac {dx_G}{d{\theta}} = 0$ , che risulta quando:

$θ = 45$ °,

da cui:

$(x_G) = \frac {v_0^2}{g}$

[modifica] Tempo di Volo

Il tempo di volo è il tempo fra l'istante del lancio e quello di arrivo del punto, che coincide con il tempo necessario a percorrere il tratto OG con la velocità v_x:

$t_G = \frac {2x_M}{v_0 cos{\theta}} = \frac {2 v_0 sin {\theta}}{g} = 2 t_M$

[modifica] Osservazioni

Quanto studiato sopra è una situazione semplificata in quanto, nella realtà, i corpi risentono dell'attrito dell'aria, che agisce opponendosi al moto. La principale conseguenza che ha sul moto questa forza è che la gittata diminuisce, e ovviamente diminuisce anche il tempo di volo.

[modifica] Collegamenti esterni

Java applet of projectile motion

[modifica] Moto dei proiettili

Un tipico esempio di moto parabolico è quello dei proiettili. Esso è sottoposto ad un'accelerazione che può essere scomposta nel seguente modo:

a x = 0

a y = - g

Se il proiettile viene sparato con velocità iniziale v₀ secondo un angolo θ, si ottengono le seguenti componenti di velocità:

$v_x = v_0 \cdot cos {\theta}$

$v_y = v_0 \cdot sin {\theta} - g t$

Possiamo quindi ottenere le componenti della posizione del proiettile, date da:

$x(t) = v_0 cos {\theta} \cdot t$
$y(t) = v_0 sin {\theta} \cdot t - \frac {1}{2} g t^2$

Il moto lungo l'asse x è insomma uniforme, e quello lungo l'asse y accelerato. Se la velocità iniziale fosse stata pari a zero, avremmo ottenuto un moto di caduta libera.

Categoria: Cinematica

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