Funzioni trigonometriche complesse

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Indice

1 Seno e Coseno
- 1.1 Tangente e Cotangente
2 Funzioni iperboliche
3 Voci correlate

[modifica] Seno e Coseno

Dalle formule di Eulero, valide per ogni x:

$\begin{cases}e^{ix}=\cos x +i\sin x \\ e^{-ix}=\cos x - i\sin x \end{cases}$

si ricavano le definizioni di seno e coseno che sono funzioni intere del piano complesso:

$\begin{cases} \sin z = \frac {e^{iz}-e^{-iz}} {2i} \\ \cos z = \frac {e^{iz} + e^{-iz}} {2} \end{cases}$ .

Diamo alcune proprietà (altre sono come le rispettive proprietà reali) delle funzioni seno e coseno:

$sin 2 z + cos 2 z = 1$

$\begin{cases} \sin 2z = 2 \sin z \cos z \\ \cos 2z = \cos^2 z - \sin^2 z \end{cases}$

$\begin{cases} \sin (z_1+z_2) = \sin z_1 \cos z_2 +\cos z_1 \sin z_2 \\ \cos (z_1+z_2) = \cos z_1 \cos z_2 - \sin z_1 \sin z_2 \end{cases}$

$2sin z 1 cos z 2 = sin(z 1 + z 2) + cos(z 1 - z 2)$

[modifica] Tangente e Cotangente

La tangente e la cotangente complessa sono definite sempre a partire dal seno e coseno:

$\begin{cases}\tan z = \frac {\sin z} {\cos z} & \, , \, \cot z = \frac {\cos z} {\sin z} \\ \sec z = \frac {1} {\cos z} & \, , \, \csc z = \frac {1} {\sin z}\end{cases}$

Osserviamo che sia la tangente che la secante sono analitiche ovunque eccetto nelle singolarità: $z = \frac {\pi} {2} + n\pi$ , che sono i punti in cui si annulla il coseno al denominatore; viceversa la cotangente e la cosecante hanno singolarità in $z = n π$ , che sono i punti che annullano il seno al denominatore.

[modifica] Funzioni iperboliche

$\begin{cases} \sinh z = \frac {e^{z}- e^{-z}} {2} \\ \cosh z = \frac {e^{z} + e^{-z}} {2} \end{cases}$ ;

$\begin{cases}\tanh z = \frac {\sinh z} {\cosh z} & \, , \, \coth z = \frac {1} {\tanh z} \\ sech z = \frac {1} {\cosh z} & \, , \, csch z = \frac {1} {\sinh z}\end{cases}$

Il seno e il coseno iperbolico sono funzioni intere di tutto il piano complesso.

Alcune proprietà visto anche il legame con il seno e il coseno:

$\begin{cases}\sin z = -i \sinh (iz) & \, , \, \sinh z = -i \sin (iz) \\ \cos z = \cosh (iz) & \, , \, \cosh z = cos (iz) \end{cases}$

$- sinh 2 z + cosh 2 z = 1$

$\begin{cases} \sinh (z_1+z_2) = \sinh z_1 \cosh z_2 + \cosh z_1 \sinh z_2 \\ \cosh (z_1+z_2) = \cosh z_1 \cosh z_2 + \sinh z_1 \sinh z_2 \end{cases}$