Filtro di Wiener

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Il Filtro di Wiener è un filtro per l'elaborazione dei segnali proposto da Norbert Wiener negli anni 1940 e pubblicato nel 1949.

Indice

1 Descrizione
2 Impostazione del problema
3 Soluzione stazionaria
- 3.1 Soluzione non causale
- 3.2 Soluzione causale
4 FIR filtro di Wiener per serie discrete
5 Filtro di Wiener per il riconoscimento del Pile Up
6 Voci correlate
7 Bibliografia

[modifica] Descrizione

L'obiettivo del filtro di Wiener è eliminare il rumore presente in un segnale. È basato su un approccio statistico.

Tipicamente i filtri sono concepiti per una ben precisa risposta in frequenza. Il filtro di Wiener approccia il problema del filtraggio da un diverso punto di vista. Si assume che si abbia conoscenza delle caratteristiche spettrali del segnale originale e del rumore, e si cerca il filtro LTI la cui uscita sia più vicina possibile al segnale originale. I filtri di Wiener sono caratterizzati dalle seguenti caratteristiche:

Assunzioni: il segnale e il rumore (additivo) sono processi stocastici stazionari e lineari con caratteristiche spettrali note o autocorrelazione e mutua correlazione nota
Condizioni: il filtro deve essere fisicamente realizzabile, p.e. causale (questa condizione può essere abbandonata, ottenendo così una soluzione non causale)
Criteri prestazionali: minimo errore quadratico medio

Questo filtro è usato frequentemente nel processo di deconvoluzione; per questo utilizzo vedi deconvoluzione di Wiener.

[modifica] Impostazione del problema

L'ingresso di un filtro di Wiener si assume essere un segnale, $s (t)$ , alterato da un rumore additivo, $n (t)$ . L'uscita, $x (t)$ , è calcolata per mezzo di un filtro, $g (t)$ , usando la seguente convoluzione:

x (t) = g (t) * (s (t) + n (t))

dove

$s (t)$ è il segnale originale (da ricavare)
$n (t)$ è il rumore
$x (t)$ è il segnale stimato (che speriamo sia uguale a $s (t)$ )
$g (t)$ è il filtro di Wiener

L'errore è $e (t) = s (t + α) - x (t)$ è l'errore quadratico è $e 2 (t) = s 2 (t + α) - 2 s (t + α) x (t) + x 2 (t)$ dove

$s (t + α)$ è l'uscita desiderata filtro
$e (t)$ è l'errore

A seconda del valore di α il :

Se $α > 0$ allora il problema è detto di predizione
If $α = 0$ allora il problema è detto di filtraggio
If $α < 0$ allora il problema è detto di smoothing

Scrivendo $x (t)$ come integrale di convoluzione: $x(t) = \int_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)\left[s(t - \tau) + n(t - \tau)\right]d\tau}$ .

Prendendo il valore atteso dell'errore quadratico si ha

$E(e^2) = R_s(0) - 2\int_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)R_{x\,s}(\tau + \alpha)d\tau} + \int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)g(\theta)R_x(\tau - \theta)d\tau}d\theta}$

dove

$\,\!R_s$ è la funzione di autocorrelazione di $s (t)$
$\,\!R_x$ è la funzione di autocorrelazione di $x (t)$
$R_{x\,s}$ è la funzione di cross-correlazione di $x (t)$ e $s (t)$

Se il signale $s (t)$ e il rumore $n (t)$ sono non correlati (p.e., la cross-correlazione è zero) allora si ottiene

$R_{x\,s} = R_s$
$\,\!R_x = R_s + R_n$

L'obiettivo adesso è minimizzare $E (e 2)$ trovando la $g (t)$ ottimale.

[modifica] Soluzione stazionaria

Il filtro di Wiener ammette soluzione per due possibili casi: il caso in cui si voglia un filtro causale, e il caso in cui un filtro non causale sia accettabile. L'ultimo è più semplice ma non si presta per applicazioni in tempo reale. L'obiettivo principale di Wiener era risolvere il caso in cui la condizione di causalità fosse valida.

[modifica] Soluzione non causale

$G(s) = \frac{S_{x,s}(s)e^{\alpha s}}{S_x(s)}$

Posto che $g (t)$ sia ottimale allora l'equazione di minimo errore quadratico medio si riduce in $E(e^2) = R_s(0) - \int_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)R_{x,s}(\tau + \alpha)d\tau}$

E la soluzione $g (t)$ è l'inversa della trasformata di Laplace a due lati di $G (s)$ .

[modifica] Soluzione causale

$G(s) = \frac{H(s)}{S_x^{+}(s)}$

Dove

$H (s)$ è la parte causale di $\frac{S_{x,s}(s)e^{\alpha s}}{S_x^{-}(s)}$ (cioè la parte di questa frazione avente una soluzione temporale positiva per trasformazione inversa di Laplace)
$S_x^{+}(s)$ è la componente causale di $S x (s)$ (p.e. la trasformata inversa di Laplace di $S_x^{+}(s)$ è non nulla solo se $t\ge 0$ )
$S_x^{-}(s)$ è la componente anti causale di $S x (s)$ (p.e. la trasformata inversa di Laplace $S_x^{-}(s)$ è non nulla solo per t non negativo)

Questa espressione generale è complicata e necessita di una più dettagliata spiegazione. Per ottenere la soluzione $G (s)$ per un caso specifico, bisogna seguire questi passi (vedi LLoyd R. Welch: Wiener Hopf Theory):

1. Inizia con lo spettro $S x (s)$ in forma razionale e fattorizzalo nelle componenti causale e anti causale:

$S_x(s) = S_x^{+}(s) S_x^{-}(s)$

dove $S +$ contiene tutti gli zeri e i poli nel piano levogiro (LHP) e $S -$ contiene gli zeri e i poli nel piano destrogiro (RHP).

2. Dividi $S x, s (s) e α s$ per ${S_x^{-}(s)}$ e riscrivi il risultato espandendolo in frazioni parziali.

3. Seleziona solo quei termini dell'espansione che hanno poli nel piano LHP. Chiama questi termini $H (s)$ .

4. Dividi $H (s)$ per $S_x^{+}(s)$ . Il risultato è la funzione filtro di trasferimento desiderata $G (s)$

[modifica] FIR filtro di Wiener per serie discrete

Per ricavare i coefficienti del filtro di Wiener, consideriamo un signale w[n] passato a un filtro di Wiener di ordine N e con coefficienti $a_i, i=0,\ldots, N$ . L'uscita del filtro, indicata con x[n], è data dall'espressione

$x[n] = \sum_{i=0}^N a_i w[n-i]$

L'errore residuo è indicato con e[n] e definito come e[n]=x[n]-s[n] (Vedi il corrispondente diagramma a blocchi). Il filtro di Wiener è concepito in maniera tale da minimizzare la deviazione standard (criterio MMSE) che può essere scritta concisamente nella maniera seguente:

$a_i = arg.min ~E\{e^2[n]\}$

dove $E {.}$ indica l'operatore di valore atteso. In generale, i coefficienti $a i$ possono essere complessi e possono essere derivati anche nel caso in cui w[n] e s[n] sono complesse. Per semplicità considereremo solo il caso in cui tutte queste quantità sono reali. La deviazione standard può essere riscritta come:

$\begin{array}{rcl} E\{e^2[n]\} &=& E\{(x[n]-s[n])^2\} \\ &=& E\{x^2[n]\} + E\{s^2[n]\} - 2E\{x[n]s[n]\}\\ &=& E\{\big( \sum_{i=0}^N a_i w[n-i] \big)^2\} + E\{w^2[n]\} -2 E\{ \sum_{i=0}^N a_i w[n-i]s[n]\} \end{array}$

Per trovare il vettore $[a_0,\ldots,a_N]$ che minimizza l'espressione sopra, calcoliamo la sua derivata rispetto ai coefficienti $a i$

$\begin{array}{rcl} \frac{\partial}{\partial a_i} E\{e^2[n]\} &=& 2E\{ \big( \sum_{j=0}^N a_j w[n-j] \big) w[n-i] \} - 2E\{s[n]w[n-i]\} \quad i=0, \ldots ,N \\ &=& 2 \sum_{j=0}^N E\{w[n-j]w[n-i]\} a_j - 2 E\{ w[n-i]s[n] \} \end{array}$

Se supponiamo che w[n] e s[n] sono stazionarie, possiamo introdurre le seguenti sequenze $R_w[m] ~\textit{ and }~ R_{ws}[m]$ note rispettivamente come l'autocorrelazione di w[n] e la cross-correlazione tra w[n] e s[n] definite come segue

$R_w[m] = E\{w[n]w[n+m]\} \quad \textit{ and } \quad R_{ws}[m] = E\{w[n]s[n+m]\}$

La derivata della MSE può dunque essere riscritta come (da notare che $R w s [ - i] = R s w [i]$ )

$\frac{\partial}{\partial a_i} E\{e^2[n]\} = 2 \sum_{j=0}^{N} R_w[j-i] a_j - 2 R_{sw}[i] \quad i=0, \ldots ,N$

Imponendo la derivata uguale a zero otteniamo

$\sum_{j=0}^N R_w[j-i] a_j = R_{sw}[i] \quad i=0, \ldots ,N$

che può essere riscritta in forma matriciale

$\begin{bmatrix} R_w[0] & R_w[1] & \cdots & R_w[N] \\ R_w[1] & R_w[0] & \cdots & R_w[N-1] \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ R_w[N] & R_w[N-1] & \cdots & R_w[0] \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_{sw}[0] \\R_{sw}[1] \\ \vdots \\ R_{sw}[N] \end{bmatrix}$

Queste equazioni sono note come equazioni di Wiener-Hopf. La matrice che appare nell'equazione è una matrice di Toeplitz simmetrica. Queste matrici sono note essere definite positive e dunque non singolari, portando ad una sola soluzione nella determinazione dei coefficienti del filtro di Wiener. Inoltre esiste un algoritmo efficiente per risolvere le equazioni di Wiener-Hopf noto come algoritmo di Levinson-Durbin .

[modifica] Filtro di Wiener per il riconoscimento del Pile Up

Il filtro di Wiener è molto utile anche nel campo del riconoscimento di segnale, in particolare del Pile Up (sovrapposizione di due segnali nella stessa finestra temporale). Vediamo come affrontare il problema e l'espressione della funzione di trasferimento del filtro.

Si supponga di avere un sistema con una risposta r(t) al segnale unitario e un segnale non corrotto u(t) in ingresso (es: $δ(t - t 0)$ ). L'uscita s(t) del sistema sarà pertanto una convoluzione tra la funzione di risposta e il segnale di ingresso u(t):

$s(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}{ r(\tau) u(t-\tau)d\tau }$

che nel dominio di Fourier si riduce semplicemente a $s (ω) = r (ω) u (ω)$ .

Nel caso reale invece, l'uscita del sistema sarà un segnale corrotto c(t) = s(t) + n(t). La $u (ω)$ in questo caso sarà:

$u(\omega) = \frac{c(\omega)}{r(\omega)}$

Lo scopo del Filtro di Wiener è quello di trovare un filtro $H (ω)$ tale per cui vale:

$u'(\omega) = \frac{c(\omega)H(\omega)}{r(\omega)}$

dove $u'(ω)$ è la miglior stima di $u (ω)$ , ovvero $H (ω)$ minimizza la differenza quadrata tra U e U'. In formule equivale a minimizzare

$L(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}{ \left |u'(\omega) - u(\omega)\right |^2 d\omega } = \int_{-\infty}^{+\infty}{ \left | \frac{c(\omega)H(\omega)}{r(\omega)} - \frac{s(\omega)}{r(\omega)} \right |^2 d\omega }$

Risolvendo $d L / d H = 0$ si ottiene l'espressione cercata:

$H(\omega) = \frac{ |s(\omega)|^2 }{ |s(\omega)|^2 + |n(\omega)|^2 }$

ma se consideriamo la u(t) come una delta, l'espressione si semplifica:

$H(\omega) = \frac{ r^*(\omega) }{ |r(\omega)|^2 + |n(\omega)|^2 } \qquad u'(\omega) = \frac{ c(\omega)r^*(\omega) }{ |r(\omega)|^2 + |n(\omega)|^2 }$

Questo filtro può tornare molto utile nella ricerca di segnali, come ad esempio in un algoritmo di trigger o riconoscimento di pattern, dato che la U' estrapolata rappresenta appunto una delta, quindi facilmente riconoscibile.

[modifica] Voci correlate

Norbert Wiener
Filtro di Kalman
Deconvoluzione di Wiener
Eberhard Hopf

[modifica] Bibliografia

Wiener, Norbert (1949), Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series. New York: Wiley. ISBN 0-262-73005-7
Brown, Robert Grover and Patrick Y.C. Hwang (1996) Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering. 3 ed. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-12839-2

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Categorie: Sistemi dinamici | Teoria dei segnali

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